題析分類討論在初中不等式中的應用

盧慧娟

（廣西壯族自治區柳州市第十一中學，廣西 柳州）

樹立分類討論思想的意識，就是要使學生把一個不明確的數學問題分解成幾個可以確定的小問題，然后逐一進行研究和解決，綜合這幾個小問題的結論，再次研究分析，最終得出原題的答案。在人教版七年級數學下冊關于不等式的教學中，分類討論思想在概念的理解、方案設計等問題中均有所滲透，下面對分類討論思想在不等式中的應用的題目進行如下分析。

一、概念的理解在不等式中的應用

在人教版七年級數學上、下冊的教材中，涉及數學概念的問題，如下一例：

例1：求關于x的不等式xm2-3-2≥m的解集。

這道題跟指數有關，x的指數只能取值1，所以得到m2-3=1，解得 m=±2

由此，原不等式的解集可分兩種情況：

m=2時，x-2≥2，不等式的解集為x≥4

m=-2時，x-2≥-2，不等式的解集為x≥0

上例屬于數學概念在不等式中的應用研究。解題關鍵在于，對系數和指數的理解要達到熟悉掌握的要求，這類題型對訓練學生的發散思維也有一定的作用。例1還可變式為絕對值的應用，如：把m2更換為，同樣的可解出m有兩個值，然后再分兩種情況討論，最后得出結果。

二、方案設計在不等式中的應用

第一類是通過兩種方案的比較，分類討論得出比較所得的三種情況（如：A與B一樣、A高于B、A低于B），分類比較三種情況得出的結論再分別進行分析。

例2：某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只20元，茶杯每只5元，商店有兩種優惠辦法：一種是購買一只茶壺送一只茶杯；另一種是按總價的92%付款。現有一顧客需購買4只茶壺，若干只（不少于4只）茶杯，選哪一種優惠辦法購買最省錢？

設購買茶杯x只，依題意

方案一可列式為 4×20+5（x-4），整理得 5x+60

方案二可列式為 92%×（20×4+5x），整理得 4.6x+73.6

兩種方案進行比較，分為以下三種情況：

第一種：方案一的花費等于方案二的花費，可得式子

5x+60=4.6x+73.6，解得 x=34

因此，購買的茶杯數為34只時，兩種方案的花費一樣。

第二種：方案一的花費高于方案二的花費，可得式子

5x+60＞4.6x+73.6，解得 x＞34

因此，購買的茶杯數超過34只時，選擇方案二最省錢。

第三種：方案一的花費低于方案二的花費，可得式子

5x+60＜4.6x+73.6，解得 x＜34

因此，購買的茶杯數低于34只時，選擇方案一最省錢。

例2這類題型的方案通常由題目已給出，一般都是兩種方案。對于題目給出的兩種方案，解題方法是先根據方案列出式子，然后再分成“一樣、高于、低于”三種情況來討論，得到的結果是根據不同的情況，作出不同的選擇。

第二類是依據題目條件，求出相關的量的取值，通過這個取值來分類討論選擇最佳方案的問題。

例3：學校準備租用一批汽車，現有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量為45人，乙種客車每輛載客量為30人。已知租用1輛甲種客車需租金400元，租用1輛乙種客車需租金280元。學校現計劃租用甲、乙兩種客車共8輛，送330名師生集體外出活動，最節省的租車費用是多少？

設租用甲種客車x輛，則租用乙種客車（8-x）輛，依題意可列不等式為 45x+30（8-x）≥330，解得 x≥6。

由于甲、乙兩種客車共8輛，即6≤x≤8，所以x的取值為6，7，8。

故有如下三種方案：

第一種：當 x=6 時，租車費用為 400×6+280×2=2960（元）

第二種：當 x=7 時，租車費用為 400×7+280×1=3080（元）

第三種：當 x=8 時，租車費用為 400×8+280×0=3200（元）

所以，當x=6時，租車費用最少。

這類題型的方案通常根據題目條件，求得相關的量的值，再依據這個值來確定方案可行性的種類，最后根據種類的多少來選擇最優方案。與例2的不同在于，它們的結果表現形式不同：例2是一種情況對應一個結果，三種情況對應三個結果，而且只有三種情況；例3則是由相關的量確定所有方案的可能性，并且最終的結果是在這所有的方案中只選擇一個最優的。