兩個一次函數絕對值的和與差求最值的方法探究

許文新

（福建省南平第一中學）

許文新

（福建省南平第一中學）

兩個一次函數絕對值的和與差求最值時，當兩個絕對值中的一次項系數不相同也不互為相反數時，我們通常可以用絕對值不等式來求最值，方便快捷，而不必用零點分區法將絕對值打開寫成分段函數的形式。但是，當兩個絕對值中的一次項系數不相同也不互為相反數時，絕對值不等式無法使用，我們通常是用零點分區法將絕對值打開寫成分段函數的形式，利用函數圖象求最值，但總是覺得很繁瑣。其實，此時仍然可以用絕對值不等式來求最值，只需稍作變化，舉例如下：

當 x=3，且（x+1）（x-3）≤0 時，

即當x=3時，fmin（x）=f（3）=4

當 x=a，且（x+2）（x-a）≤0 時，

即當x=a時，fmin（x）=

【分析】若用零點分區法將絕對值打開，必須對a和-1進行比較大小、分類討論，非常繁瑣。而這里只用了兩次縮小變形，就得到了函數的最小值，簡潔明了。

當 x=-2，且（x-1）（x+2）≥0 時，

即當x=-2時，fmax（x）=f（-2）=3

即，-f（x）≤3，∴f（x）≥-3

當 x=2 時，且（x+1）（x-2）≥0 時，

即當x=2時，fmin（x）=f（2）=-3

【分析】因為是兩個絕對值相減，必須進行放大變形才能用絕對值不等式，而將系數2變為系數1是縮小變形，故從它的相反數出發來做，先把的系數-2放大到系數-1，再用絕對值不等式進行放大，得到函數相反數的最大值，從而得到函數的最小值。

當 x=-2，且（x-2）（x+2）≥0 時，

即當x=-2時，fmax（x）=f（-2）=8

即，-f（x）≤12，∴f（x）≥-12

當 x=-2，且（x-2）（x+2）≥0 時，

即當x=-2時，fmin（x）=f（-2）=-12

【分析】因為是兩個絕對值相減，必須進行放大變形才能用絕對值不等式，而將系數5變為3是縮小變形，故從它的相反數出發來做，先把系數-5放大到-3，這樣可提最公因式3，再用絕對值不等式進行放大，得到函數相反數的最大值，從而得到函數的最小值。

當x=m，且（x-3）（x-m）≥0時，

即當x=m時，fmax（x）=f（m）=2

【分析】若用零點分區法將絕對值打開，必須對3和m進行比較大小、分類討論，非常繁瑣。而這里只用了兩次放大變形，就得到了函數的最大值，簡潔明了。