深井聲波傳輸特性仿真分析

孫延鵬，盧海琪

(沈陽航空航天大學， 沈陽 110000)

隨著人類社會的快速發展，對石油能源的需求愈發強烈，石油的勘測和鉆探技術也愈發重要。為了提高工作效率和安全性，需要實時地測量井下的壓力和溫度等參數并傳送到地面。過去的有線傳輸系統不僅費用昂貴，而且在井下高溫、高壓、高腐蝕的環境下，電纜線也容易受到損壞[1]，所以逐漸使用無線的方式進行通信。深井無線傳輸的方式有泥漿脈沖[2]、電磁波[3-5]和聲波[6-8]。泥漿脈沖和電磁波傳輸方式在井下傳輸信息時缺點比較明顯，而聲波傳輸方式結果簡單，成本低，得到了國內外廣大研究人員的青睞。在聲波中主要研究縱波，因為彎曲波的傳播速度慢，在同一直徑的管道中也會形成很大的衰減，而扭轉波在每個接頭處的反射比縱波強烈，綜合考慮之后選擇了縱波。

現實生活中，油井的信道有周期性的也有非周期性的。本文采用傳遞矩陣法[9]來對一維理想的信道、周期性的信道和非周期性的信道進行建模仿真。在研究周期性信道時，采取控制單一變量來詳細研究每個參量對傳輸系統的影響。而在對非周期性信道研究時，主要研究了不同長度的變化對傳輸系統的影響。最后對所有的仿真結果進行分析。

1 聲波沿一維理想信道傳輸特性仿真分析

1.1 縱波沿一維理想信道的理論分析[10]

根據彈性理論，考慮彈性波傳輸的實際情況，國際上關于聲波沿管道的傳播特性研究，多是將管道看成實心細長的桿或管子結構[11]。若為周期性的，則看成等長度的桿[12]，構成周期性管串結構，若為非周期性的，則看成非等長的桿，構成非周期性的管串結構。

設縱波的波函數為u=u(x,t)，沿著無橫向變形(泊松比為0)的一維均勻直桿傳播。直管上的應變不是拉伸就是壓縮，取直管上一微元段dx，如圖1所示，假設微元段處于拉伸狀態，設A′和B′截面上受到的拉力分別為f1和f2，得到力學平衡方程

(1)

式中：dx為微元段的長度(m)；f1為微元段dx左側的拉力(N)；f2為微元段dx右側的拉力(N)；s為微元段dx的橫截面積(m2)；u為質點在x方向的位移分量(m);ρ為直管材料的密度。

(2)

式中E為直管的楊氏模量。

(3)

則微元段所受的合力為

(4)

因為取得微元段dx趨于無窮小，所以在式(4)中略去了dx的高階無窮小的項，將式(4)代入式(1)得到

(5)

式(5)就是縱波的波動方程。雖然該二階微分方程是從一維均勻直管中導出來的，但適用于任何一個一維的固體彈性介質。

式(5)中，影響該波動方程只有2個物理量——材料的楊氏模量和密度，與縱波的振幅、頻率、相位和波形等都無關。

圖1 一維理想信道示意圖

(6)

式(6)就是縱波的波動方程。

1.2 縱波沿一維理想信道的仿真分析

選擇彈性模量為2.059×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7 890 kg/m3的理想管道200 m進行模擬計算，直管的橫截面積為34 cm2，模擬的時間為0.3 s，選取的輸入信號為單位脈沖信號，如圖2所示。

圖2 單位脈沖信號

利用沖激函數的性質，很容易求得信道的系統函數。通過離散傅里葉變換，得到系統函數的頻響特性(這里求得是幅頻特性)，如圖3所示。

圖3 一維理想信道的頻響特性

2 聲波沿周期性信道傳輸特性仿真分析

2.1 理論分析

首先建立模型，周期性的油管管道結構，如圖4所示。

圖4 周期性的管道結構示意圖

根據縱波的波動方程式(6)，其位移解為

u=(utejkx+ve-jkx)ejωt

(7)

式中：u為聲波的波函數(m)；ut為透射波的位移(m)；v為反射波的位移(m)；x為任意一點到原點的距離(m)；j為虛數單位。

橫截面上的軸向力可表示為

(8)

將式(7)代入到式(8)中，可得

F=-jkρsc2(utejkx-ve-jkx)ejωt

(9)

通過歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ將式(7)和式(9)展開，并用矩陣的形式表示，可得

(10)

令

(11)

稱A(x)為傳遞矩陣。

當x=0時，即為模型的第1段，在其左側邊界上分析得到

(12)

其中，

(13)

同理，當x=L1時，即取的是模型的第2段，在其左側邊界上分析得到

(14)

對式(12)進行計算，很容易求得A(0)的逆矩陣A-1(0)，將式(12)和式(14)聯立計算，很容易得到

(15)

以此類推，可得到第i段的法向位移和應力的關系公式

(16)

由于在分界面處必須滿足法向位移u和法向作用力F連續的條件，可得

(17)

因為整個深井管道系統是由每一段的管道和每一段的接頭處組成的，因此每一段的傳遞函數相乘就是整體的傳遞函數。令Mn=A(Ln)A-1(0)；M=MnMn-1…M1，得到

(18)

其中M為整個管道系統的傳遞矩陣。

假設整個深井信道的左端是聲波信號的發射處，右端是信號的接收處，在右端接收處的透射波和反射波的位移分別為φtn和φrn，由式(9)可得

(19)

左端發射處施加輸入信號，假設此處只有入射波，假定入射波在左端的位移為φt0，由式(10)可得

(20)

聯立式(18)～(20)可得

(21)

定義油管的接收處的聲波信號與左端發射聲波的激勵信號之間的比值為ξ，即

(22)

令傳遞矩陣

(23)

通過進一步求解，由式(21)可以得到

(24)

式中：ρ1為油管左端的材料密度;ρn為油管右端的材料密度;s1為油管左端的橫截面積;s2為油管右端的橫截面積。

2.2 聲波沿周期信道的仿真分析

采用傳遞矩陣法對周期性的油管管道進行模擬仿真，使用的部分參數如表1所示。

表1 仿真用的部分參數

由220個直管道A和221個接箍A組成的油管管道的總長度約為2 000 m，模擬計算得到的仿真結果如圖5所示。

圖5 周期性油管管道的頻譜

由圖5可以看到：單位激勵信號通過信道系統后，一部分頻率分量可以通過，另外有一部分分量無法通過，呈現出通帶和阻帶相間隔的形式。

采取控制單一變量的方法，研究其他參數變化對傳輸特性的影響。油管的密度是由材料決定的，無法更改，縱波的波速也幾乎是恒定的。考慮的參量只剩下長度和橫截面積。首先考慮一下長度變化對傳輸特性的影響。選取不同長度的管道模型。選取表格中序號Ⅰ的組合，對直管道分別選取10根、20根、20根組成不同長度的油管管道模型，仿真結果如圖6所示。

圖6 不同長度油管管道頻譜響應

由圖6可以看出：不同長度所組成的油管管道系統對單位脈沖信號頻譜響應幾乎不變，各通帶的寬度和位置幾乎相同，即長度的變化不改變油管信道的傳輸特性，依舊保持梳狀濾波的特性。

將表格中序號Ⅰ和序號Ⅱ的直管道和接箍組成的油管管道選取同樣的長度進行仿真，選取20根直管道和21根接箍進行仿真，仿真結果如圖7所示。

圖7 不同橫截面積油管管道的頻譜響應

由圖7可知：當接箍的橫截面積減小后，系統還是呈現梳狀濾波結構，雖然通帶的位置幾乎不變，但是通帶的寬度有所變化，會變寬，信號的幅值也會稍微變大。

3 聲波沿非周期信道傳輸特性仿真分析

實際的油管管道比較復雜，考慮非周期性的模型是有必要的。聲波在管道中傳播，傳輸特性與油管管道的結構密切聯系。在實際的非周期油管管道中呈現非周期變化的參量不僅有長度還有橫截面積。本文只研究長度的非周期情況，仍采取控制單一變量的方式來研究長度的不同變化，以及對深井油管信道的傳輸特性的研究。為了研究長度的非周期變化對油管管道的傳輸特性的影響，需要保證另外一個參量，即確保橫截面積統一。取不同長度的直管道，起始長度為8.686 8 m，最終長度為12.886 8 m，分別采用不同的組合來建立非周期油管信道模型。選取15根直管道、16根接箍，分別采用依次增加、依次減小、先增后減、先減后增、增減相間隔等形式，每根管道的長度間隔根據采取的組合形式而定。依次增加、依次減小和增減相間隔的形式管道長度間隔為0.3 m，先增后減和先減后增的長度間隔為0.6 m。仿真所使用的參數數據如表1中序號Ⅰ所示，只是將直管道的長度按上述的方法進行改動即可。

使用表1中的數據進行仿真計算，前4個形式得到的仿真結果如圖8所示。

圖8 前4種非周期形式的頻譜響應

由圖8可以看出：依次增大和依次減小的信道傳輸特性幾乎一樣，而先增大后減小和先減小后增大的信道傳輸特性也幾乎一樣。但是在2 000～3 000 Hz這個范圍內先增大后減小和先減小后增大的組合形式明顯優于依次增大和依次減小的。但是這4種非周期形式的組合的信道傳輸特性仍然滿足梳狀結構。

最后一個增減相間隔形式的仿真結果如圖9所示。

圖9 增減相間隔的頻譜響應

由圖9可以看出：增減相間隔的傳輸特性優于前4種非周期形式組合，呈現梳狀結構，而且相對幅值變化也比較平緩。

結合非周期的圖8和圖9與上述周期性的幾張仿真圖比較，可以看到非周期的通阻帶變多，通帶的寬度明顯變窄，而且相對幅值變化比較大。說明油管管道的結構越復雜，聲波的傳輸效果就越差。所以在實際的油管的管道最好選擇設計結構相對簡單的形式，便于聲波的有效傳輸。

4 結論

1) 一維理想的油管管道對初始信號沒有阻礙作用，不呈現梳狀濾波的性質，對信號沒有選擇性，且過于理想化。

2) 周期性的油管管道對信號呈現梳狀濾波的作用。油管管道的長度變化，會引起信號的衰減，但是不改變梳狀濾波的性質。橫截面積的變化，會引起通頻帶的寬度發生變化。周期性的管道研究起來方便，進行仿真操作也很便利，呈現的梳狀結構比較整齊劃一，便于分析聲波信號傳輸特點。

3) 非周期的油管管道的機構復雜，引起聲波的色散比周期性的嚴重，頻譜響應依舊呈現梳狀性質，但是通帶明顯變窄。聲波在結構復雜的油管管道中傳輸效果不佳。

4) 實際情況中由于地形、壓強等因素的影響不可能使用完全理想的管道，也不能使用完全周期性的管道，但是在使用長度不等的非周期的管道時，盡量保證相鄰的管道的長度差值不要懸殊太大，使用的差值越小，聲波傳輸的效果就越好。