關于一類多目標半無限分式規劃的最優性條件

嚴建軍，李 鈺，李江榮，楊 帆

(1.延安職業技術學院, 陜西 延安 716000; 2.延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

隨著多目標最優化和半無限規劃的研究發展，凸性理論逐步被廣泛地應用到各個研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻[1]引入了(F,α,ρ,d)-凸函數，文獻[2]對之推廣，得到了(C,α,ρ,d)-凸函數，并研究了涉及這類凸性的最優性條件和對偶結果。文獻[3-7]對于涉及(C,α,ρ,d)-凸性的多目標規劃、多目標分式規劃等問題的最優性和對偶理論進行了研究。受此啟發，結合局部Lipschitz函數、局部漸近錐K、K-方向導數和K-次微分，提出了一類廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數等凸性概念，并在新的廣義凸性下，研究了一類多目標半無限分式規劃的最優性條件。

1 基本概念

本文均假設X?Rn且非空。

定義1 稱函數f∶X→R是局部Lipschitz的,若?z∈Rn,?k>0與U(z),對?x,y∈U(z),有

|f(x)-f(y)|≤k||x-y||

定義2[2]稱函數C∶X×X×Rn→R在Rn上關于第3個變元是凸的,若?(x,x0)∈X×X,?y1,y2∈Rn,有

C(x,x0)(λy1+(1-λ)y2)≤λC(x,x0)(y1)+

(1-λ)C(x,x0)(y2),?λ∈(0,1)

本文均假設?(x,x0)∈X×X,有C(x,x0)(0)=0。

定義3[2]設函數f∶X→R是局部Lipschitz函數,若?α∶X×X→R+{0},ρ∈R,d∶X×X→R+,如果對?x∈X,有

[f(x)-f(x0)]/α(x,x0)≥C(x,x0)(ξ)+

ρd(x,x0)/α(x,x0), ?ξ∈?f(x0)

則稱函數f在x0處是(C,α,ρ,d)-凸函數。

bi(x,x0)φ[fi(x)-fi(x0)]≥αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+

ρid2(θi(x,x0)), ?ξi∈?Kfi(x0)

則稱函數f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數。

如果函數f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數,則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數。

bi(x,x0)φ[fi(x)-fi(x0)]<0?αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0))<0，?ξi∈?Kfi(x0)

則稱函數f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-偽凸函數。

如果函數f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-偽凸函數,則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-偽凸函數。

bi(x,x0)φ[fi(x)-fi(x0)]≤0?

αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0))<0,

?ξi∈?Kfi(x0),

則稱函數f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-嚴格偽凸函數。

如果函數f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-嚴格偽凸函數,則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-嚴格偽凸函數。

bi(x,x0)φ[fi(x)-fi(x0)]≤0?

αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0))≤0,

?ξi∈?Kfi(x0)

則稱函數f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-擬凸函數。

如果函數f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-擬凸函數,則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-擬凸函數。

bi(x,x0)φ[fi(x)-fi(x0)]<0?

αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0))≤0,

?ξi∈?Kfi(x0),

則稱函數f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-弱擬凸函數。

如果函數f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-弱擬凸函數,則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-弱擬凸函數。

注1 若K取Clarke切錐,設C(x,x0)(ξ)=F(x,x0;ξ),α(x,x0)=1,ρ=0,則在本文中提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數等即為文獻[13]中的一致Fb-凸函數等。

注2 若K-次微分取通常意義下梯度,設d2(θ(x,x0))=d(x,x0),φ(a)=a,b(x,x0)=1,則本文提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數即為定義3。

2 主要結果

考慮多目標半無限分式規劃:

本文均記：

注3 每個有效解是弱有效解,反之不成立。

②h(x)在x0處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-擬凸函數;

④α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

⑤b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a≤0,則φ1(a)≤0;若a≤0,則φ2(a)≤0;

則x0是(MSFP)的有效解。

證明若x0不是(MSFP)的有效解,則?x∈X,使得

ψ(x)≤ψ(x0)

至少存在一個k,1≤k≤p,有

ψk(x)<ψk(x0)

由條件(v)和(i)知對i=1,…,p有

b1i(x,x0)φ1(ψi(x)-ψi(x0))≤0?

αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρ1id2(θi(x,x0))<0,

?ξi∈?Kψi(x0)

因λ0∈Λ+,則有

(1)

由hj(x)≤0,hj(x0)=0,j∈J(x0)知

hj(x)≤0=hj(x0)

由條件②和⑤,有

b2j(x,x0)φ2(hj(x)-hj(x0))≤0?

βj(x,x0)C(x,x0)(ζj)+ρ2jd2(θj(x,x0))≤0,

?ζj∈?Khj(x0)

?ζj∈?Khj(x0)

(2)

因此

(3)

而式(1)與式(2)相加,并利用函數C的凸性和條件④,有

由條件⑥,有

上式與式(3)矛盾，故x0是(MSFP)的有效解。

②h(x)在x0處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-擬凸函數;

④α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

⑤b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a<0,則φ1(a)<0,且φ1(0)=0; 若a≤0,則φ2(a)≤0;

則x0是(MSFP)的弱有效解。

證明若x0不是(MSFP)的弱有效解,則?x∈X,使得

ψ(x)<ψ(x0)

由條件①和⑤知對于i=1,…,p,有

b1i(x,x0)φ1(ψi(x)-ψi(x0))<0?

αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρ1id2(θi(x,x0))<0,

?ξi∈?Kψi(x0)

因λ0∈Λ,則有

(4)

由hj(x)≤0,hj(x0)=0,j∈J(x0)知

hj(x)≤0=hj(x0)

由條件⑤,有

b2j(x,x0)φ2(hj(x)-hj(x0))≤0?

βj(x,x0)C(x,x0)(ζj)+ρ2jd2(θj(x,x0))≤0,

?ζj∈?Khj(x0)

?ζj∈?Khj(x0)

(5)

因此

(6)

而式(4)與式(5)相加,并利用函數C的凸性和條件④,有

由條件⑥,有

上式與式(6)矛盾，故x0是(MSFP)的弱有效解。

②h(x)在x0處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-嚴格偽凸函數;

④α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

⑤b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a≤0,則φ1(a)≤0; 若a≤0,則φ2(a)≤0;

則x0是(MSFP)的。

證明與定理1的證明類似。

②h(x)在x0處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-嚴格偽凸函數;

④α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

⑤b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a<0,則φ1(a)<0,且φ1(0)=0; 若a≤0,則φ2(a)≤0;

則x0是(MSFP)的弱有效解。

證明與定理2的證明類似。

類似可得以下定理:

②h(x)在x0處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-擬凸函數;

④α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

⑤b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a<0,則φ1(a)<0,且φ1(0)=0; 若a≤0,則φ2(a)≤0;

則x0是(MSFP)的有效解。

3 結束語

本文提出一類新的廣義凸函數概念，研究了涉及這些新廣義凸性的一類多目標半無限規劃的最優性，所得結果從理論上對已有凸性進行了推廣，充實了廣義凸性和多目標半無限規劃的相關理論，可進一步深入研究與之相關的對偶性、鞍點等內容。