基于高斯偽譜法的制導火箭彈總體優化設計研究*

楊 靖,毛 瑞,杜鳳懷,白風科,黃若超

(西安現代控制技術研究所,西安 710065)

0 引言

制導火箭武器系統因其反應迅速、火力猛、威力大、成本適中,火力密度高等特點,近年來受到很多國家重視[1]。制導火箭彈作為一個系統,其總體性能的優劣依賴于各子系統的性能以及各子系統之間的協調配合。為提高毀傷效果,殺傷爆破型或侵徹型等戰斗部往往要求制導火箭彈以大落角命中目標并具有一定的末速。由于飛行過程中,只有發動機推力和阻力做功,全彈道速度方案主要依賴于發動機推力方案設計和彈道方案設計。兼顧戰斗部要求和發動機推力方案,尋找合適的飛行彈道,優化發動機技術指標,對火箭彈總體設計具有重要的現實意義。

制導火箭彈飛行彈道的優化問題實質是最優控制問題。由于描述制導火箭彈運動的非線性常微分方程組較為復雜,大空域飛行過程中空氣動力非線性特性突出,且控制變量和狀態變量往往具有約束,一般難以解析求解彈道優化問題,只能尋求數值解。高斯偽譜法與傳統直接法等數值方法相比,因其參數化得到的非線性規劃問題的karush-kuhn-tucker(KKT)條件與離散的哈密頓邊值問題的一階最優性條件具有一致性[2],近年來受到國內外廣泛關注。一個典型和顯著的應用是用于完成被稱為“零推進劑機動”的國際空間站大規模姿態調整任務,通過基于偽譜法的軌跡優化,為NASA節省了100萬美元的推進劑經費[3-4]。國內學者也開展了大量的相關研究。楊博[5]等人基于高斯偽譜法研究了化電混合推進劑系統轉移軌道優化設計問題。張佩俊等人針對復雜多約束條件下空天飛機上升段燃料最優控制問題,提出了一種基于高斯偽譜法的空天飛機上升段軌跡優化策略[6]。

文中針對制導火箭彈總體優化設計問題,提出了一種基于高斯偽譜法的總體優化設計方法。為優化發動機技術要求,確保戰斗部對飛行彈道的大落角和末速要求,將落角作為終端約束,取目標函數為最大化末速,進行了方案彈道優化,為發動機技術要求的優化提供參考。

1 總體優化設計模型

1.1 制導火箭彈運動方程

假設地面坐標系為慣性系,制導火箭彈視為可控質點,僅考慮縱向平面內的運動,攻角響應近似為一階慣性環節,則制導火箭彈的運動模型可簡化表述為:

(1)

式中:V為質心速度;θ為彈道傾角;x與y分別為縱向平面內的質心位置;m為質量;P為發動機推力;q為動壓;S為特征面積;阻力系數cx和升力系數cy是馬赫數和攻角α的函數;重力加速度g隨高度變化;mc為質量流量;Tα為攻角響應時間常數;αc為攻角指令。

1.2 優化問題描述

1)性能指標

為保證戰斗部的毀傷效果,將性能指標取為末端速度最大,即:

J=maxVf

(2)

2)初始狀態約束

初始狀態為制導火箭彈發射點狀態:

(3)

3)終端狀態約束

針對固定目標,對彈著點狀態進行約束:

(4)

4)控制變量約束

由資歷高、經驗豐富的高級職稱人員組成專家組，參照有關管理規定、處方管理條例、單位及科室具體情況等，制定系統的用藥規范和細則，印刷后發放給各個科室。同時專家組制定藥物處方評估標準，內容應包括藥物的使用頻率、藥物利用指數、藥物的耐藥性情況、處方的合理性等方面[3] 。

考慮制導火箭彈的穩定性能與控制性能,對攻角指令進行限制:

(5)

2 高斯偽譜法

高斯偽譜法是一種將連續最優控制問題轉化為非線性規劃問題的參數化方法。高斯偽譜法的基本原理為:將狀態變量和控制變量在一系列高斯點上離散,并以所選高斯點為節點構造全局拉格朗日插值多項式來逼近狀態變量和控制變量,以全局插值多項式的導數近似系統的動力學方程,從而將微分方程組約束轉化為代數方程組約束。性能指標中的積分項由高斯積分計算。終端狀態由初始狀態和對右函數的積分獲得。經上述變換,可將連續最優控制問題參數化為非線性規劃問題。

2.1 系統微分方程的離散

考慮一般形式的非線性系統動力學方程:

(6)

式中:x∈n為狀態向量;u∈m為控制向量;f:n×n×→n為連續向量函數。為應用正交多項式的性質,采用高斯偽譜法需要將時間區域[t0,tf]轉換到[-1,1]上,為此引入變量τ對時間t進行變換,即:

(7)

從而,系統動力學方程轉化為:

(8)

選取N個Lagrange插值基函數Lk近似逼近狀態向量,可得:

(9)

(10)

其中,τk(k=0,…,N)為如下N次Legendre正交多項式的零點:

(11)

對式(9)求導,可得以插值多項式導數為近似的狀態變量的導數:

(12)

其中,微分矩陣D∈N×(N+1)通過下式計算:

(13)

將式(12)代入式(8),得到狀態向量在配點上應滿足的代數約束:

(14)

綜上所述,將系統動力學微分方程參數化為了代數方程約束。

2.2 終端約束的離散

積分動力學方程(8)可得終端狀態:

(15)

采用高斯積分公式近似上式中的積分項,可得離散化終端狀態:

(16)

通過上述離散過程,將方案彈道優化問題轉化為了非線性規劃問題,其設計變量包括離散點的狀態向量(X1,X2,…,XN)和控制向量(U1,U2,…,UN)及終端時刻tf,其約束條件為動力學方程約束及邊界條件約束。目前對于非線性規劃問題的數值求解方法有很多,貫序二次規劃算法因其穩定性和精度優勢應用最為廣泛。因此,文中采用貫序二次規劃法對經高斯偽譜法離散化的方案彈道優化問題進行求解。

3 數值仿真分析

以某制導火箭彈的總體論證為例,進行數值仿真分析。為保證某型戰斗部的毀傷效果,需要約束落角和末速。在方案彈道優化中,將落角作為終端約束條件,目標函數為最大化末速,射程依次取為25 km、35 km、45 km、55 km、65 km、75 km、85 km、110 km、130 km,來驗證發動機方案能否在全射程范圍內滿足戰斗部的技術要求。

制導火箭彈初始狀態約束為:x0=0,y0=0,α0=0,20°≤θ0≤55°,V0=25 m/s,m0=342 kg。終端彈道傾角約束取為θf∈[-90°,-80°]。氣象條件采用空軍標準氣象條件。

圖1給出了不同射程制導火箭彈速度隨時間的變化曲線。圖2展示了不同射程彈道傾角隨時間的變化曲線。表1列出了不同射程對應的落角和末速。可以看出,在保證落角約束的條件下,隨著射程的增加,末速最大值先減小后增大再減小。這是由于火箭彈飛行過程中只有發動機推力和阻力做功。仿真中,不同射程發動機參數一致,發動機工作過程階段,火箭彈飛行軌跡差異不大,所以發動機推力做功對于不同射程差別不大。阻力系數與飛行高度和馬赫數相關,25 km到130 km的射程對應的彈道高變化范圍較大,高空飛行占總飛行過程的比重較大時,阻力做功相對較小,末速較大;另外,總飛行路徑較短,阻力做功相對較小,末速較大。

圖1 不同射程速度隨時間的變化曲線

圖2 不同射程彈道傾角隨時間的變化曲線

射程/km落角/(°)末速/(m/s)2580.65448.43580.83434.74581.12434.35580.44449.56580.31465.77580.28480.68580.17493.211080.10591.913080.06520.1

4 結束語

文中針對制導火箭彈總體優化設計問題,提出了一種基于高斯偽譜法的總體優化設計方法。為優化發動機技術要求,確保戰斗部對飛行彈道的大落角和末速要求,將落角作為終端約束,取目標函數為最大化末速,進行了方案彈道優化。通過數值仿真,給出了在滿足落角約束條件下最大末速隨射程的變化規律。仿真實例中,射程跨度較大時,制導火箭彈彈道式飛行高度變化范圍較廣,在保證落角約束的條件下,隨著射程的增加,末速最大值先減小后增大再減小。因此,在工程實踐中,對于大射程跨度大空域飛行制導火箭彈的總體方案技術指標分解,不能僅選取最近射程和最遠射程進行驗證,要充分驗證全射程范圍的可行性。