并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺的動力學(xué)仿真與分析

陳 周 陳 純

（陜西理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，漢中 723000）

并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)的高復(fù)雜性，導(dǎo)致其動力學(xué)模型系統(tǒng)具備非線性、多自由度和多參數(shù)耦合的特點，是研究并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)的一個重點和難點。本文對一種并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了分析，并基于Lagrange法對該并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)方程的建立，同時利用admas軟件對該機構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)仿真，為該機構(gòu)實際應(yīng)用與分析提供了力學(xué)研究支持。

1 雙向偏轉(zhuǎn)工作臺并聯(lián)機構(gòu)簡介

該雙向偏轉(zhuǎn)工作臺內(nèi)、外齒輪拱，各由一個獨立固定在底座上的電機進(jìn)行驅(qū)動，外齒輪拱通過銷軸直接連接在臺面下的銷軸座上，但如果內(nèi)、外齒輪拱均用普通的銷軸與工作臺連接，則無法實現(xiàn)兩個方向齒輪同時轉(zhuǎn)動且互不干擾的。假如X方向（外齒輪拱轉(zhuǎn)動方向）上發(fā)生45°轉(zhuǎn)動時，Y方向（內(nèi)齒輪拱轉(zhuǎn)動方向）上的轉(zhuǎn)動軸就從原來的水平角度轉(zhuǎn)軸變成了現(xiàn)在的45°轉(zhuǎn)軸，如果要圍繞此軸轉(zhuǎn)動，Y方向的轉(zhuǎn)動方向必須與此45°轉(zhuǎn)軸垂直，然而此時Y方向的轉(zhuǎn)動軸仍然是原來的水平方向的轉(zhuǎn)動軸，兩者發(fā)生沖突。因此為了能滿足內(nèi)外齒輪同時轉(zhuǎn)動功能，現(xiàn)對內(nèi)齒輪拱與工作臺臺面的連接方式進(jìn)行優(yōu)化，采用U形孔及銷軸的搭配設(shè)計，該優(yōu)化原理類似于萬向節(jié)轉(zhuǎn)動原理，保持兩個方向上的轉(zhuǎn)軸始終垂直。此并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺運動學(xué)逆解如式（1）、式（2）所示。

正解如式（3）、式（4）所示

式中，Z1為驅(qū)動外齒輪拱電機上的消隙齒輪齒數(shù)；Z2為外齒輪拱齒數(shù)；Z3為驅(qū)動內(nèi)齒輪拱電機上的消隙齒輪齒數(shù)；Z4為內(nèi)齒輪拱齒數(shù)；β1為基于電機轉(zhuǎn)動角度的外齒輪拱偏轉(zhuǎn)角度；β2為驅(qū)動外齒輪拱電機轉(zhuǎn)動角度；γ1為基于電機轉(zhuǎn)動角度的內(nèi)齒輪拱偏轉(zhuǎn)角度；γ2為驅(qū)動內(nèi)齒輪拱電機轉(zhuǎn)動角度。

2 廣義力

由于該機構(gòu)含有兩個轉(zhuǎn)動自由度，因此用沿內(nèi)、外齒輪拱轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動的廣義坐標(biāo)qk（k=1,2）來描述該工作臺的運動.為求在廣義坐標(biāo)qk下的廣義力Qk，先假設(shè)qk不為零，而其它的2個廣義坐標(biāo)為零，如式（5）所示。

式中，F(xiàn)為機構(gòu)所受的外力；Δr為動平臺中心的虛位移；G0為動平臺質(zhì)量；Fk為齒輪拱的驅(qū)動力。式（5）兩邊同除以Δqk可得Qk，如式（6）所示。

將式（6）寫成矩陣形式，如式（7）所示。

式中,J為Jacobian矩陣。

3 基于Lagrange方法的動力學(xué)方程的建立

該雙向偏轉(zhuǎn)工作臺機構(gòu)的動能，由動平臺動能和內(nèi)外兩個齒輪拱兩部分組成,具體表達(dá)式如式（8）所示。

式中，m0為工作臺平臺質(zhì)量；rt為平臺到轉(zhuǎn)軸的垂直距離；ωr為平臺轉(zhuǎn)動角速度；mk為齒輪拱及其導(dǎo)軌副質(zhì)量；rk為齒輪拱到其轉(zhuǎn)軸的垂直距離；ωk為齒輪拱轉(zhuǎn)動角速度。將（8）式兩邊對qk求導(dǎo)，如式（9）所示。

將式（9）對時間t進(jìn)行求導(dǎo)，如式（10）所示。

式中，α為動平臺的角加速度；αk為齒輪拱角加速度。將式（7）～式（9）帶入Lagrange方程，如式（11）所示。

可得計算結(jié)果，如式（12）所示。

通過式（12）可以得到內(nèi)外齒輪拱驅(qū)動力的大小，并對該機構(gòu)進(jìn)行動態(tài)特性的分析。

4 并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺機構(gòu)的admas動力學(xué)仿真

先將并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺模型導(dǎo)入admas軟件之中，并加上各約束后，如圖1所示。

因為兩個消隙齒輪是直接安裝在電機上的，所以當(dāng)工作臺面加荷載后，測試電機最小驅(qū)動力或工作扭矩，可以直接測兩消隙齒輪的驅(qū)動力或工作扭矩。測得消隙齒輪驅(qū)動力與平臺加入的荷載關(guān)系，如圖2所示。

圖1 導(dǎo)入admas中的模型圖

圖2 消隙齒輪驅(qū)動力隨運動時間變化圖

如圖（2）所示，當(dāng)該并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺從初始水平位置開始運動后，隨著工作臺的偏轉(zhuǎn)，工作臺勢能變大，內(nèi)、外兩驅(qū)動電機提供的扭矩也逐漸增大。

5 結(jié)語

利用Lagrange方程對該并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺進(jìn)行了動力學(xué)模型構(gòu)建和動力學(xué)分析，得到了該工作臺中兩個驅(qū)動電機驅(qū)動力的顯示解。再利用admas軟件對該工作臺模型進(jìn)行了動力學(xué)仿真與分析，測得了工作臺加載荷載情況下，內(nèi)、外兩個驅(qū)動電機扭矩隨偏轉(zhuǎn)運動時間變化的關(guān)系圖。