三自由度繩驅并聯機器人運動學分析與仿真

朱冠亞 張尚盈 黃元峰 胡 順

（武漢工程大學 電氣信息學院，武漢430205）

繩驅并聯機器人是一種利用繩索作為傳動元件，將運動力傳遞到末端執行器的并聯機器人。與傳統桿支撐并聯機構不同，本文研究的并聯結構具有結構簡單、載重能力大、工作空間大以及運動支鏈慣性等優點[1-2]。繩驅并聯機構的眾多優點吸引了世界各國科學家的關注，目前繩驅并聯機構在重型吊裝、舞臺表演、攝像技術、裝備制造、大型射電望遠鏡和風洞實驗系統等領域受到了深入研究[3]。

1 運動學分析建模

機器人運動學在于描述輸入構件與輸出構件之間的運動關系，運動學模型的建立機器人軌跡的重要基礎。運動學分析包括位置分析、速度分析和加速度分析三部分，其中位置分析是運動學分析的最基本任務。運動學分析首要建立其模型，對于4-3型繩驅并聯機構采用了直鏈建模方式，忽視了繩索的自重，如圖1所示。

圖1 繩驅并聯機器人結構簡圖

繩驅并聯機構四邊形場地B1、B2、B3、B4四個角點處立有支撐架；支撐架分別安裝一個滑輪Ai（i=1～4），每個滑輪最高點距離地面高度均為h；支撐架中部架設了一臺電機；四根繩索一端纏繞在電機絞盤上，另一端繞滑輪連接到末端負載的一點P。用四邊形兩對角線交點作為原點，建立慣性坐標系{O-XYZ}。

2 運動學逆解

已知輸出件的位置和姿態，求解能實現該位置和姿態的輸入件位移稱為位置逆解分析。對于并聯機構而言，當已知末端負載位置P，求解能實現該位置的繩索長度li稱為位置逆解分析。在采用直鏈模型基礎上，繩索矢量li計算方法如式（1）所示。

位于P時，繩索長度li利用運動學位置逆解關系，如式（2）所示。

對式（2）進行微分，結果如式（3）～式（6）所示。

式中，ui是第i根繩的單位矢量；J為速度雅克比矩陣；J為繩索速度i與平臺速度 的映射關系。并聯機構的雅克比矩陣對于機構特性分析及設計具有重要作用，表示了并聯機構速度傳遞特性。對式（3）關于時間進行求導，得到加速度逆解結果，如式（7）所示。

3 運動學正解

繩驅并聯機構正解由已知各個索長li，求解末端執行器的當前位置P。運動學正解計算很難采用解析法求出結果，一般采用數值迭代法。結合J的廣義逆和Newton-Raphson法，可以給出適用此機構的的求解方法[4]。

根據式（2），將位置逆解轉化為非線性方程組如式（8）所示。

任取初始位置P0=[x0，y0，z0]T，根據數值迭代的思想，存在步長ΔP，如式（8）所示。

Newton-Raphson 迭代核心為利用函數的導數信息，在fi（P0）處泰勒展開，如式（9）所示。

設置初始位置為P0=[x0，y0，z0]T，第k+1步的計算過程如式（10）所示。

令Pk+1=Pk+ΔPk，當ΔP迭代滿足直至迭代精度ε，得出正解位置Pk。

4 仿真結果

針對本文4-3繩驅并聯機器人，給出滑輪坐標A1（-2.5111，-2.0166，4.7265）、A（22.5118，-2.0167，4.7265）、A（32.5135，2.0184，4.7265）、A（4-2.5414，2.0403，4.7265）。基于Simulink建立逆解模型，假定末端執行器在圓心為（0，0，2），半徑為1m的空間水平圓上運動，末端執行器的運動軌跡如式（11）所示。

設w為1rad/s；z0為2m；設置初始點和終止點坐標均為（0，0，1），則仿真結果如圖2～圖4所示。

圖2 繩長隨時間的變化曲線

圖3 繩速隨時間的變化曲線

圖4 繩長加速度隨時間的變化曲線

通過圖2～圖4可以看出，整個運動過程中繩索,長度、速度、加速度變化平穩且連續，在切入切出時都沒有發生突變，說明在變向時末端執行器沒有晃動，證明了逆解算法正確。

在Simulink中建立迭代算法正解模型，輸入期望坐標P，通過逆解算法獲得各繩索的長度位置，其目的是為了保證超定方程有解。設置初值為P0=[0，0，1]T，迭代精度ε=0.000001，最大迭代次數k=10，對繩驅并聯機器人進行位置正解驗算，結果如表1所示。從數據中可以看出迭代次數都少于10次，證明其具有良好收斂性和快速性。

表1 繩驅動并聯機器人正解算法實例

5 結語

對4-3型繩驅并聯機器人進行運動學建模分析，利用矢量法解決了運動學的逆解問題；利用Newton-Raphson迭代法解決了運動學正解問題。結合Simulink的仿真結果，證明了正逆解算法有效性。