橢圓面積的初等證明方法

周文芃

摘 要：本文通過使用初等數學的方法，借助同樣半徑長度的圓的面積，對比橢圓與圓中長度之間的關系，在空間坐標系中構建相似三角形，由橢圓中的橢圓三角形中的代數關系轉化為幾何關系，完成從邊到三角形之間關系以及從邊到橢圓面積之間的關系轉化，從而得出橢圓的面積公式。

關鍵詞：橢圓面積；橢圓方程；三角形相似；焦點三角形；圖形轉化思想

中圖分類號：O123.3 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）22-0189-02

1 引言

橢圓是一種常見的幾何對象，在實際應用中應用非常廣泛，比如橢圓曲線在加密算法中的應用，橢圓在隧道孔口中的應用，橢圓在精密工程誤差計算中的近似，這些問題可以劃歸為求橢圓與圓柱的截交線，求橢圓與雙曲線的焦點的問題，更進一步地，化歸為了橢圓的面積地的計算[1-5]。

橢圓面積在生活和生產中具有非常重要的意義，開普勒第二定律中有關于面積相等的命題是天文學中的重要且基礎的問題，地球作為一個橢球，其二維投影—橢圓是進一步研究地球以及天氣的基礎[6-10]。

傳統的方法基于定積分求解或是。關于橢圓的性質被廣泛探討，但是由于橢圓沒有圓的良好性質，因此相似的方法無法使用，只能借助于更加高級的方法，比如：積分法，仿射變換法，透視仿射變換法等[11-14]。

圓是一種性質非常好的平面圖形，也是橢圓中的一個特例。在定義圓的面積時使用的基本都是圓心和半徑的長度，而這一性質無法推廣到橢圓中，因為橢圓沒有固定的半徑。由于圓的特殊性在一些問題的分析中能夠起到非常重要的作用，本文希望從對比中發現橢圓中的性質，借助于高中生都能夠掌握的基本代數和幾何知識進行推導證明[15-18]。

2 問題分析

在高中課本中，橢圓的定義有兩個，分別如下所示：

定義1：在一平面內，F1，F2是兩定點，P為動點，且|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|，a為常數），則P點的軌跡是橢圓。

定義2：在一平面內，F1為定點，l為定直線，動點P到F1的距離與到定直線l的距離之比為常數e（0

以上兩種定義都是用橢圓上的點到焦點的距離來刻畫的，但是不夠直觀，因此尋找一種直觀的集合關系能夠幫助我們求解這一問題。我們都知道：點動成線，線動成面。面的關系可以從線的關系中來，而且是正比例關系，不是常見的三角形面積的求解中的面積關系是線段關系的平方。

對于長半軸長度為a，半長軸長度為b的橢圓與半徑為a的圓而言，從視覺上來看可以認為是一個圓被壓扁了，從數學上來講，當兩者的長軸重合在一起的時候可以發現，橢圓在圓里面，橢圓的面積比圓的小。將兩者重合放在平面直角坐標系中如圖1-2所示，根據對稱性，我們只需要分析右上角四分之一的圓和橢圓之間的面積關系即可。很明顯，兩個扇環的共同點是公共的長軸（半徑），區別是與橫軸垂直的線段的長度，如果這個線段的長度，如圖所示CA1>CB2，OA>OB。

如果能夠對比這其中的對應線段之間的數量關系，則能夠將橢圓中的線段之間的關系推廣到兩橢圓之間的面積關系。由橢圓中存在的三角關系想到了構建直角三角形，并通過三角形相似建立邊與邊之間的數量關系。對圓與橢圓中的線段在與半長軸平行的方向上進行比較。根據圓與橢圓的對稱性可以發現，只需對其中的四分之一圓（橢圓）進行比較。實際上，對應線段之間的關系在空間中體現得很明顯，并且只利用橢圓中焦點三角形這一代數性質。這一過程將不直觀的代數關系轉化為了直觀的幾何關系，在證明中會更加方便快捷。保持圓不動，繞著長軸進行旋轉，在空間中找到相似三角形，把橢圓和圓中的對應線段放進相似三角形的對應邊中。將兩橢圓放到空間中研究引導我們建立在橢圓旋轉方向上的縱軸。在這個軸上不需要建立坐標，只需要利用空間關系對構造出的相似三角形中的性質加以利用。

3 推導證明

4 結語

本文通過將橢圓進行分割并與長軸相同大小半徑的圓中的線段長度進行對比，建立空間直角坐標系從而發現規律。該方法與傳統的使用極限法用三角形逼近的方法做了突破，簡單地對比線段間的長度，使用三角相似和三角函數建立它們之間的關系從而得出結論。合理而又靈活地運用橢圓、雙曲線的焦點三角形的面積公式，避免了冗長的推理和運算，大大降低難度，使解題過程簡捷而明了。本文還可以基于此研究任意角的扇環的面積，以應用于更加廣泛的場景中。

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