變化的“M”型

在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，有些問題是一類的，它們往往有共同的特征和屬性.同學(xué)們學(xué)習(xí)“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”常常會(huì)見到“M”形圖的問題.在處理和解決這類問題時(shí)應(yīng)該注意什么呢？

一、重溫“經(jīng)典”

例題 已知：如圖1，直線AB∥CD，∠B、∠D、∠E有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

[圖2][圖1]

解：∠E =∠B+∠D.

結(jié)論是如何得出呢？

思路一：

如圖2，過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，

∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，

∴∠D=∠FED，

∴∠BED =∠BEF+∠FED，

即∠BED =∠B+∠D.

思路二：

如圖3，延長DE交AB于點(diǎn)F.

∵AB∥CD，∴∠D=∠BFE.

∵∠BED=∠BFE+∠B，

∴∠BED=∠D+∠B.

思路三：

如圖4，連接BD.

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠BDC =180°，

∴∠ABE+∠EBD+∠BDE+∠CDE =180°.

∵∠BED+∠EBD+∠BDE =180°，

∴∠BED=∠ABE+∠CDE.

【解題反思】無論是作平行線還是延長線段或者是連接線段，其目的就是建立起角與角之間的關(guān)系.

二、百變“M”秀

變式1：將圖1中的點(diǎn)E“拉”到直線BD的右邊，如圖5，∠B、∠D、∠E有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

[圖5]

[圖6]

解：∠B+∠D+∠E=360°.

如圖6，延長DE交AB的延長線于點(diǎn)F.

∵AB∥CD，

∴∠D+∠F =180°，

∵∠BED=∠FBE+∠F，

∴∠ABE+∠BED+∠D =∠ABE+∠FBE+∠F+∠D=180°+180°=360°.

【說明】本題的解決方法與例題類似，方法不唯一，輔助線的添加除了上面的方法，也可過點(diǎn)E作EF∥AB，還可以連接BD.

變式2：將圖1中的點(diǎn)E“拉”到直線CD的下面，如圖7，∠B、∠D、∠E有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

圖7

解：∠E=∠B-∠D.

∵AB∥CD，∴∠B=∠CFE.

∵∠E=∠CFE-∠D，∴∠E=∠B-∠D.

變式3：將圖1中直線AB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖8，∠B、∠D、∠BED、∠BQD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明你的理由.

[圖8][圖9]

解：∠BED=∠B+∠D+∠BQD.

如圖9，連接QE，并延長QE至點(diǎn)G.

∵∠BEG=∠B+∠BQE，∠DEG=∠D+∠DQE，

∴∠BED=∠BEG+∠DEG=∠B+∠BQE+∠D+∠DQE=∠B+∠D+∠BQD.

三、慧眼識(shí)“M”

1.將兩張長方形的紙片如圖10所示擺放，使其中一張長方形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張長方形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=

°.

【分析】觀察五邊形AEHGD，這是如圖1的經(jīng)典的“M”型，∠1+∠2=∠H=90°.

2.某單位大門的欄桿如圖11所示，AB垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，則∠ABC+∠BCD= °.

【分析】觀察“圖形FEABCD”，因?yàn)镃D平行于地面AE，這是圖5經(jīng)過變化后的“M”型，則∠EAB+∠ABC+∠BCD=360°，又AB垂直地面AE于A，所以∠EAB=90°，故∠ABC+∠BCD=360°-90°=270°.

3.已知，如圖12，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C的度數(shù).

【分析】本題如果隱去線段AB（如圖13），就是圖7經(jīng)過變化的“M”型，則∠C=∠1-∠2=2∠2=2×25°=50°.

4.已知，如圖14，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °.

【分析】在圖14中，可以“分離”出一個(gè)由圖8經(jīng)過變化后的“M”型（如圖15），顯然∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∠AGB與∠CGF為對(duì)頂角，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGB+∠C+∠D+∠F=∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°（四邊形CDFG的內(nèi)角和為360°）.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，但是解題不等于傻練，解題的過程中要注重理解，要注意分析、歸納和總結(jié)，學(xué)會(huì)解題反思，在解題的過程中提升理解數(shù)學(xué)的能力.

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學(xué)，無錫市龐彥福名師工作室）