平行和垂直典型例題剖析

平行和垂直是兩條直線之間的特殊位置關系，掌握好這兩種基本關系對后續的幾何學習非常重要.我們要想把所掌握的知識融會貫通、游刃有余地運用到解題過程中去，就必須做到對每節內容的重、難點及知識網絡心中有數.下面，我們不妨來回顧一下這兩節的重要內容：

一、平行和垂直的知識網絡

1.概念：

（1）在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.（2）如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.（3）直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.

2.性質：

（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

（2）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.

二、典型例題分析

例1 已知∠AOB，P是平面內任意一點，過點P畫直線與OA平行，這樣的直線（ ）.

A. 有且只有一條 B.有兩條

C.不存在 D.有一條或不存在

【解析】解題時，我們要特別關注條件“P是平面內任意一點”，所以要有分類討論的思想.當點P在OA上時，這樣的直線不存在.當點P在OA外時，這樣的直線有一條.故本題答案應選D.

例2 如圖1，P為∠AOB的邊OA上一點.

（1）畫PQ⊥OB，垂足為Q；

（2）畫OA的垂線PR，PR與OB相交于點R；

（3）指出所畫圖形中所有的垂線段：

，其中垂線段PR的長度是點 到直線 的距離，垂線段QR的長度是點 到直線 的距離.

[圖1][圖2]

【解析】第（1）、（2）小題的答案如圖2所示.在畫圖的過程中要注意以下細節：所畫垂線應該是與已知直線垂直的直線，畫好之后別忘了標上垂直符號.第（3）小題中垂線段有5條，線段OP、RP、PQ、OQ、RQ，注意不要有遺漏.

另外，在回答后兩問時，我們一定要判斷清楚垂線段是和哪條直線垂直，故垂線段PR的長度是點R到直線OA的距離，垂線段QR的長度是點R到直線PQ的距離.

例3 利用網格的特征，在圖3中完成下面的操作.（1）過點C畫直線AB的垂線MN；（2）過點C畫直線AB的平行線PQ.

[圖3][圖4]

【解析】在網格線中作圖是一個重要的考點.因此，我們在網格中作圖時，必須學會利用網格的特性來畫圖.

在第（1）小題作圖時，我們可以嘗試通過抓住角的關系來畫.在圖4中，∠1+∠2=90°，∠3=∠1，所以∠2+∠3=90°，故垂線必過M點，從而可經過C、M兩點畫出垂線MN.在第（2）小題作圖時，可將線段EF向上平移過C點，當F移動到C點時，E點移動到G點處，從而畫出平行線PQ.

希望通過上述關于平行和垂直內容的例子，能夠幫助同學們在數學的學習過程中學會總結重、難點.事實上，研究典型例題的解題方法和思路，可以幫助大家領悟數學思想，從而使大家在數學學習的道路上越走越精彩！

（作者單位：江蘇省無錫市河埒中學）