數學建模思想融入高等數學課程的研究

潘璐+杜勇

摘 要：微元法是一類重要的數學模型和工具，有著廣泛的應用。如何靈活有效的運用微元法去解決實際問題，是微積分教學中的一個重點和難點。本文通過舉例分析總結，將微元法的應用步驟和過程歸納為：①建立適當坐標系；②選變量，定范圍；③找元素；④求總量。并結合實際例子的不同求解方法過程進行比較說明。

關鍵詞：微元法；數學建模；轉動慣量；做功

一、 序言

高等數學是大學中一門重要的公共基礎課程，它在物理學、經濟學及工程技術等領域中有著廣泛而重要的應用，而數學建模思想方法是學習理解掌握和應用數學知識的一個有效的重要途徑。數學建模是聯系現實世界與數學世界的橋梁，整個數學建模過程就是發現和分析問題，創造性地運用數學知識解決實際問題的系統過程。高等數學的教學內容中有許多重要的數學模型，比如函數模型、導數模型、微分模型、積分模型、微分方程模型等，它們大多都是為了解決實際問題而建立起來的數學模型。其中微元法就是解決求總體量的一類重要數學模型。微元法也稱為元素法，是微積分學的重要思想方法之一。微元法不僅成功地解決了諸如不規則平面圖形的面積、曲線弧的長度、旋轉體的體積等初等數學難以處理的幾何問題，而且也廣泛應用于力學、電磁學以及其他的工程技術領域中。

如何靈活有效的運用微元法去解決實際問題，是微積分教學中的一個重點和難點。

二、 微元法的原理及應用步驟

牛頓—萊布尼茲公式可理解或解釋為：一個量的局部微小改變量在整體范圍每一點的無限累積結果，就是這個量在整體范圍的總改變量（或總量）。或一個量在整體范圍的總改變量（或總量），就是由這個量的局部微小改變量在整體范圍上每一點的無限累積而成。這就是微元法的思想和原理。

（一） 微元法的應用條件

如果一個量Q的總改變量（或總量）滿足算術相加性（即整體量是部分量的簡單相加），

則可考慮用微元法求總體量。一般的標量都具有此特點，如長度、面積、體積、轉動慣量、質量、功等等。如果Q是一個向量，如引力、場強等。則向量之和不滿足簡單的算術相加性，但它在某一固定方向上的分量滿足算術相加性。所以，可以對向量在某一固定方向上用微元法求其分量之和，然后再按向量合成方法求得總向量。

（二） 微元法的應用步驟

微元法的應用過程可歸納為下列幾個步驟：①建立適當坐標系；②選變量，定范圍Ω；③找元素dQ；④求總量Q=∫QdQ。其中，坐標系的選擇，一般有數軸、直角坐標系、極坐標系、球面坐標系等，要根據所求量的分布范圍特征（比如對稱性等）去選擇。變量的選擇，一般根據選定的坐標系和問題的特點去選擇。若所求量分布在線上，則一般選一個變量；若分布在面上，則一般選兩個變量；若分布在立體上，則一般選三個變量。應根據所求量分布的范圍特點，以選擇較少的變量并使計算總量的積分過程簡單容易為原則。范圍Ω的確定，一般就是把研究對象向變量所在的坐標系投影而得到的區域范圍。元素dQ的尋找，一般是對選定的變量都給以增量，在對應的局部微小范圍內，尋找Q的部分量的近似值而得到元素dQ（局部以不變近似代替變化）。找元素是比較困難的一步，也是最重要的一步。總量的計算，Q=∫QdQ就是無限累積的結果，也就是把找到的元素在確定的范圍上積分的過程。根據所選變量的個數分別為一重積分、二重積分和三重積分等。

三、 微元法的應用舉例

（一） 求質量。不同幾何體的質量計算公式為m=∫Qdm，其中ds、dS、dV分別表示弧長元素、面積元素和體積元素，ρ為密度函數。上述公式中，當密度ρ=1時，總質量公式就變成對應的曲線的弧長、曲面的面積和立體的體積公式了。

下面對立體質量的計算過程作一說明：

1. 在直角坐標系下

以上6種解法中，解法1、2、3選取變量較少，具有一定的特殊性；解法4、5、6選取變量較多，具有一般性。具體求解時應根據實際問題靈活運用。

四、 結語

微元法是微積分學的重要思想方法之一，也是一類重要的數學模型，它在眾多領域有著廣泛的應用。應用微元法的關鍵是選取適當的變量和尋找元素。變量的選擇應使元素好找，并且總量積分好算。應根據問題的特點靈活地建立坐標系并選取變量，一般盡量選取比較少的變量，并使問題簡化，容易求解。尋找元素時，一般是通過在局部以不變近似代替變化而得到部分量的近似值，即為所求的元素。但要注意近似代替后的誤差是自變量改變量的高階無窮小。

參考文獻：

[1] “高等數學”第五版[G].同濟大學出版社.

[2] “大學物理”[G].人民郵電出版社.

[3] 關于微元法的一個注記[G].方濤上海工程技術大學學報，2015，6.

作者簡介：潘璐，杜勇，甘肅省蘭州市，蘭州交通大學博文學院。endprint