拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運算中的運用

陳海文

【摘要】現(xiàn)代化的高等數(shù)學教育，不僅在難度上較高，同時在落實的過程中，要充分考慮到不同定理所代表的意義，要讓學生在學習、應用的過程中，盡量通過合理方法來完成，這樣才能在多項數(shù)學知識的掌握、利用上，盡量得到良好的成績.文章針對拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運算中的運用展開討論，并提出合理化建議.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理；函數(shù)；極限運算；運用

一、拉格朗日中值定理概念

簡單而言，拉格朗日中值定理也被稱為拉式定理，是微分學中的基本定理內(nèi)容.拉格朗日中值定理的出現(xiàn)，充分反映了可導函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率，以及與區(qū)間內(nèi)部某點的局部變化率的關(guān)系.在研究拉格朗日中值定理的過程中，認為該定理的出現(xiàn)，主要是羅爾中值定理的推廣部分，同時也可以作為柯西中值定理的特殊情況來看待，在一階展開以后，能夠看作是泰勒公式的弱形式.

二、定理表述

就拉格朗日中值定理本身而言，其在函數(shù)極限計算應用的過程中，需要對定理本身的表述充分的清楚，盡量通過合理的手段與方法進行操作，幫助學生更好地理解定理，將定理的熟練運用更好地提升.在定理表述過程中：如果函數(shù)f（x）滿足以下兩種條件，即在閉區(qū)間[a，b]上保持為連續(xù)的狀態(tài)；在開區(qū)間（a，b）當中，能夠保持在可導的狀態(tài).那么，根據(jù)定理的內(nèi)容，認為在開區(qū)間的（a，b）當中，至少會存在一點ξ，ξ的定義范圍表現(xiàn)在（a<ξ

三、拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運算中的運用

函數(shù)極限運算在開展的過程中，自身所表現(xiàn)出的難度是比較高的，我們想要在運算的過程中得到準確的結(jié)果，或者是在運算的過程中不出現(xiàn)嚴重的差錯，都應該將拉格朗日中值定理進行科學運用，要讓兩者在共同融合以后，取得較好的計算成果.例如，在計算 limx→0ex-esinxx-sinx的過程中.需要首先對這個題目開展分析.在高等數(shù)學當中，該題目是比較典型的內(nèi)容，有助于對拉格朗日中值定理更好的理解，同時對于函數(shù)極限運算的鞏固，也能夠產(chǎn)生較大的積極作用.對于一般的思維理解而言，我們會發(fā)現(xiàn)該題目，主要求得的內(nèi)容在于極限函數(shù)是“00”型未定式，此時可以想到應用羅比達法進行解答問題.具體的解答方法如下：

limx→0ex-esinxx-sinx

=limx→0ex-esinxcosx1-cosx

=limx→0ex-esinxcos2x+esinxsinxsinx

=limx→0ex-esinxcos3x+2esinxcosxsinx+esinxcosxsinx+esinxcosxcosx

=1.

從傳統(tǒng)的解答方法來看，函數(shù)極限運算的過程中，發(fā)現(xiàn) limx→0ex-esinxx-sinx的類型，隸屬于f（b）-f（a）b-a的形式.

分析認為，拉格朗日中值定理在解答的過程中，會利用f（x）=ex的條件限定，很容易得到該函數(shù)在區(qū)間[x，sinx]當中，可以充分滿足拉式定理的條件，由此在計算以后得到以下內(nèi)容：

ex-esinx=f（x）-f（sinx）=（x-sinx）f′（sinx+θ（x-sinx））（0<θ<1），即

ex-esinxx-sinx=f′（sinx+θ（x-sinx））（0<θ<1）.

∵f′（x）=ex連續(xù)，

∴l(xiāng)imx→0f′（sinx+θ（x-sinx））=f′（0）=1，

從而有 limx→0ex-esinxx-sinx=1.

對于兩種不同的解答方法進行分析以后，很多學生都可以了解到，拉格朗日中值定理在運用的過程中，能夠?qū)鹘y(tǒng)運算方法的部分內(nèi)容進行科學的省略，相對于傳統(tǒng)的解答方法，運用拉式定理來進行解答，能夠得到更加簡便的效果.

四、拉格朗日中值定理的意義分析

高等數(shù)學體系當中，函數(shù)極限運算是非常重要的組成部分，同時對于學生其他知識的學習，也有很大的積極作用.我們在應用拉格朗日中值定理來開展函數(shù)極限運算的過程中，需要對該定理的意義進行深刻的分析，然后找準不同的意義方向，進而在函數(shù)極限運算的過程中，盡量得到較為準確的結(jié)果.

五、總 結(jié)

本文對拉格朗日中值定理在函數(shù)計算運算中的運用展開討論，現(xiàn)階段的函數(shù)極限運算教學中，對于拉格朗日中值定理的應用是比較重視的，因此，在高等數(shù)學的教育水平上獲得了較大的提升.日后，應繼續(xù)在各項定理的學習上，與函數(shù)知識更好的結(jié)合，促使學生的知識體系建立，表現(xiàn)為更高的健全特點.值得注意的是，在拉格朗日中值定理的學習過程中，應該加強與其他方法的對比分析，促使對定理的理解更加透徹.

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