洞察關(guān)聯(lián) 拓展思維

周森宇

大千世界萬象紛繁，但剝?nèi)テ浔硐螅床炱浔举|(zhì)，則會(huì)發(fā)現(xiàn)事物之間往往存在關(guān)聯(lián)。這是我在閱讀哲理書籍和觀察大千世界后得出的結(jié)論。如果把這一結(jié)論應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅可以有效提高學(xué)習(xí)效率，還能體會(huì)思維拓展的樂趣。

高中階段涉及的數(shù)學(xué)定理難度頗高，知識(shí)點(diǎn)眾多，解題思路千變?nèi)f化。面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的茫茫題海，如何快速形成有效的解題思路是關(guān)鍵。

如何構(gòu)建有效的解題思路？首先要快速定位題目涉及哪些知識(shí)點(diǎn)，再在腦中激活相應(yīng)的定義、定理或公式，并判斷題目的難易程度。

我結(jié)合四道數(shù)學(xué)題，具體討論如何使用洞察關(guān)聯(lián)的方法快速有效地形成解題思路。

一、一元二次不等式題型巧用關(guān)聯(lián)法

不等式的基本考點(diǎn)多為相對(duì)簡(jiǎn)單的不等式求解集，但也有靈活變通的題型。如果注意洞察題與題之間的關(guān)聯(lián)，解題效率會(huì)大大提高。

題1：不等式-2x2+x+3<0的解集是_________。

解析：本題的求解思路為：將-2x2+x+3=0求解得出等式的根，再結(jié)合該等式對(duì)應(yīng)的拋物線在坐標(biāo)圖中的開口方向（如下圖），進(jìn)而得出不等式的解集為{x|x>■或x<-1}。

題2：不等式ax2+5x-2>0的解集是{x|■0的解集是_________。

解析：該題屬于靈活變通類題型，題眼在于求出a的數(shù)值。如果求出a后，把a(bǔ)的數(shù)值代入ax2-5x+a2-1>0后，則解題套路與題1一模一樣。而在求a的數(shù)值時(shí)可逆向運(yùn)用題1的解題思路。具體求解過程如下。

解：由不等式的拋物線特性及第一個(gè)不等式的解集可知，a<0，且■、2是方程ax2+5x-2=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系得■×2=-■，解得a=-2。所以可將ax2-5x+a2-1>0化為2x2+5x-3<0，即（2x-1）（x+3）<0，類比題1的解題方法，易解得﹣3

二、等比/等差數(shù)列題型巧用關(guān)聯(lián)法

等比/等差數(shù)列對(duì)學(xué)生而言一直都是難點(diǎn)，但當(dāng)學(xué)會(huì)運(yùn)用關(guān)聯(lián)法，洞察到題與題的本質(zhì)聯(lián)系，問題就可迎刃而解。

題3：在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n。

解法一：本題的直觀解法為使用求和公式（易知公比不是1，可使用求和公式）：

■=48 ①

根據(jù)已知條件

■=60 ②

通過②÷①得：1+qn=■，即qn=■ ③

③代入①得■=64

∴S3n=■（1-q3n）=64（1-■）=63

解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比數(shù)列，即：■=■=q。代入Sn、S2n值，可得S3n=63。

本題考點(diǎn)為等比數(shù)列求和公式及其應(yīng)用。解法一套用求和公式解答。解法二則運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解答，該解法簡(jiǎn)潔省時(shí)，更巧妙。在本題的基礎(chǔ)上，請(qǐng)觀察下題。

題4：在等差數(shù)列{an}中，已知Sn=6，S2n=21，求S3n。

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等差數(shù)列，即（S3n-S2n ）-（S2n-Sn）=（S2n-Sn）-Sn=d。代入Sn、S2n值，可得S3n=45。

題4與題3同屬數(shù)列題，因此也可直接運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)求解。題4直接運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)求解，更省時(shí)省力。

在數(shù)學(xué)題海中，很多題目之間是有聯(lián)系的，如果能洞察其中的關(guān)聯(lián)，就相當(dāng)于一眼識(shí)破了其中的解題秘密，這樣就能利用已有的解題經(jīng)驗(yàn)拓展出新的解題思路。

“洞察關(guān)聯(lián)，拓展思維”，這是我們學(xué)好數(shù)學(xué)應(yīng)牢記的心法正道。