基于系統思維視角下的y=ax2+c與y=a（x+m）2的圖像與性質課時安排審視

王子儒??

摘要：一次同課異構中，蘇科版九下數學y=ax2+c與y=a（x+m）2的圖像與性質的課時安排問題引起了大家的討論。從系統思維的視角去審視，安排兩課時，更有利于學生積累研究一般函數的圖像與性質的活動經驗，有利于學生加深對用平移的方法研究函數圖像變化的理解。

關鍵詞：系統思維；二次函數；課時安排

江蘇省新沂市數學骨干教師培訓班的一次同課異構活動中，安排的課題是蘇科版九下數學5.2二次函數的圖像與性質（3）：y=ax2+c與y=a（x+m）2的圖像與性質。兩位授課教師風格迥異的課堂教學給我們留下了深刻的印象，特別是對這節課課時安排的不同的處理（一位教師安排2課時，一位教師安排為1課時）引起了聽課教師的思考與討論，李善良博士在活動總結時也把這節課的課時安排問題作為要學員思考的34個問題之一。

文獻1指出：系統思維就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系、相互作用中綜合考查認識對象的一種思維方法。y=ax2+c與y=a（x+m）2的圖像與性質，這節內容的教學的課時安排應該放在初中階段函數圖像與性質教學的系統思維視角下去審視。如果其地位重要，一課時安排處理不好，就要安排兩課時。

視角1：安排2課時有利于學生積累研究一般函數圖像與性質的活動經驗

研究函數的圖像與性質，究其本質就是研究函數中的系數對函數圖像與性質的影響。初中階段研究三種函數：一次函數、反比例函數、二次函數。在研究的過程中學生能體會到控制變量研究法，即每次只研究一個系數對函數圖像性質的影響。

一次函數的圖像與性質是學生初中階段第一次學習函數圖像的概念和畫法，更注重讓學生認識一般問題的研究方法。從結果看，一次函數的圖像是一條直線，自變量的取值范圍是連續的，在研究一次函數y=kx+b的圖像與性質是遵循從簡單到復雜，從特殊到一般的研究方法的。先研究k對函數圖像性質的影響，再研究b對函數圖像性質的影響。

在研究反比例函數y=kx的圖像與性質時，由于它的自變量取值范圍不是連續的，而圖像的形狀是雙曲線，讓學生初步認識了曲線型函數圖像的畫法，反比例函數關系式中只有一個常數k，因此只要研究k對函數圖像的影響即可。

對于二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質，由于式子復雜，有三個系數a、b、c，而且它們對函數圖像的影響不像一次函數y=kx+b中k、b對函數圖像影響那么直接，因此，研究的過程比較復雜。在研究二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質時，學生由已有的活動經驗，很容易得出先研究y=ax2的圖像與性質，再研究y=ax2+c的圖像與性質。教材上安排的研究順序是y=ax2、y=ax2+c、y=a（x+m）2、y=a（x+h）2+k，這種研究順序我們從結果看是最簡潔最合理的研究過程。但是學生想不到接著研究y=a（x+m）2的圖像與性質。研究y=ax2+c后，學生首先想到的是研究y=ax2+bx，通過具體研究發現不好找出b對函數圖像的影響規律。下面該怎么研究學生就產生困惑。我們知道在研究一次函數、反比例函數的圖像與性質時是從函數的一般式出發進行研究的，而二次函數在研究圖像與性質時是從函數的頂點式出發進行研究的，在從一般式轉化到頂點式這一個過程要讓學生經歷到。讓學生感受到函數常數系數的變化對函數圖像與性質的影響，不是簡單的數量上的變化而是由量變到了質變，讓學生能體會到哲學上的一些思想。

該怎樣引導學生去研究y=a（x+m）2，應該遵從學生已有的知識和經驗出發，引導學生探究。下面介紹三種處理方法。王四寶老師在公開課上是通過比較二次函數y=x2+2x的圖像與二次函數y=x2的圖像的關系，學生得出：y=x2+2x的圖像可由y=x2的圖像先向下平移一個單位再向左平移一個單位或先向左平移一個單位再向下平移一個單位得到，從而引導出y=x2向左平移一個單位的圖像，從而引導出需要研究y=a（x+m）2的圖像與性質。文獻2的方法是在一次函數與反比例函數圖像的教學時，用“課題學習”的形式探討一次函數與反比例函數圖像的平移問題，將這兩種函數左右平移時的研究經驗遷移到研究二次函數的圖像與性質中，從而引導出需要研究y=a（x+m）2的圖像與性質，這也能讓學生感受的三種不同函數的圖像與性質再平移方面的辯證統一。文獻1的方法是把研究一元二次時的研究經驗遷移到研究二次函數的圖像與性質上，在研究一元二次方程解法時是先研究ax2=p，再研究a（x-h）2=p，通過配方，把ax2+bx+c=0轉化為研究a（x-h）2=p。因此在研究二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質時，可以通過配方把它轉化為研究y=a（x+h）2+k，可以先從簡單形式出發先研究y=a（x+m）2。如果安排成一課時，就沒有那么多時間讓學生探究。

視角2：安排2課時有利于學生加深對利用平移的方法去研究函數圖像變化的理解

平移是函數圖像變化的基本方式之一，而且不同函數的平移規律是一致的，這能夠讓學生體會到數與形變化的關系。初中階段主要研究的三種函數中，一次函數教材中只研究了圖像的上下平移，反比例函數教材中沒有研究平移問題，只有二次函數才完整地研究上下平移與左右平移，如果把y=ax2+c與y=a（x+m）2的圖像與性質的教學安排成一課時，學生對為什么要研究二次函數的左右平移、對兩種平移的數與形之間的關聯的認識與理解就會不透徹，不利于學生對函數平移規律的認識。建議二次函數圖像與性質學完后要利用“課題學習”總結歸納三種函數的平移問題，從而推廣的一般函數的平移問題。

參考文獻：

[1]吳增生.基于系統思維的二次函數的圖像與性質教學策略[J].中學數學教學參考：中旬，2015，（9）：10-13.

[2]卜以樓、伍銀平.喚醒 傳承 延伸——“二次函數的圖像”教學分析與思考[J].中學數學教學參考：中旬，2015，（7）：12-15.

作者簡介：

王子儒，江蘇省新沂市，江蘇省新沂市第十中學。endprint