“因式分解”教學探討

李雪靜??

摘要：因式分解是蘇科版七年級數學（下）第9章“整式乘法與因式分解”里的一個內容，以前在老教材里因式分解是作為獨立的一章出現的，而教材改革以后卻不同，它現在僅作為“整式乘法與因式分解”這一章里的一個知識點出現。就整個數學而言，因式分解，不言而喻，它是打開整個代數寶庫的一把金鑰匙。

關鍵詞：七年級數學；分析；建議；理念

《數學課程標準（實驗稿）》雖然降低了因式分解的特殊技巧的要求，也對因式分解常用的方法作了刪減，且公式法的應用中，由原來的5個公式減少到了現在的3個，盡管如此，卻絲毫沒有否定因式分解的教育價值及其在代數中的應用價值。在后面的分式學習中，因式分解是通分、約分所必備的基礎知識；在解一元二次方程或高次方程、方程組、不等式中，因式分解是一種重要的解題方法；在研究代數式、三角式的恒等變形中，因式分解是主要手段之一……而它現在卻僅僅作為整式乘法與因式分解里的一個內容，這就說明現在的要求越加嚴格了，這就需要我們全體初中數學老師要做到事半功倍，在最短的時間里教出最好的效果。

一、 教材分析

就本節內容而言，著重闡述了四個方面，一是因式分解的概念，二是與整式乘法的相互關系，三是因式分解的2種方法：提公因式法、公式法，四是因式分解的應用。它是在學生學習和掌握了整式的乘除法的基礎上來探討學習的，通過這節內容的學習，不僅使學生掌握了因式分解的概念，還會對不同類型的式子靈活采用適當的方法對其進行因式分解。它的學習為后面的分式學習、一元二次方程或高次方程等等的學習提供了重要的解題方法。因此，它起到了承上啟下的作用。

通過情境教學，使學生在參與中激發學習情感，理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法進行因式分解；理解因式分解與整式乘法的相互關系，靈活的應用因式分解的常用方法分解因式以及如何將多項式分解徹底。

二、 教學建議

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》指出，“數學教學應結合具體的教學內容，采用問題情境—建立模型—解釋應用與拓展的模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用的過程……”因此，在教學中，應采用主體性學習的教學模式，給學生充分創設自主探究與合作交流的學習環境，讓學生有充分的時間和空間去實踐探索，通過動手操作，學會觀察分析問題，在合作交流中體驗成功，分享快樂。

1. 由于因式分解與整式的乘法是互逆的恒等變形，因此教師在引入概念時應引導學生觀察、對比因式分解與整式乘法兩者的聯系與區別，歸納因式分解與整式乘法的變形特點，真正理解因式分解變形的目的和意義，在這基礎上再添加一些辨別似是而非的恒等變形的題目，判斷這些較明顯的恒等變形是不是因式分解變形，從而達到掌握因式分解含義的目的。

【例】判斷下列變形是否是因式分解變形，并說明理由：

（1）4x2-12x+9=4x（x-3）+9

（2）3x3+2x2+x=x（3x2+2x）

（3）（x+4y）（x-4y）=x2-16y2

在這個例題中，也許有一些同學認為前兩個都是在因式分解，也許有一部分同學認為，這三個都是在因式分解，但真正的結果是怎樣的呢？教師可以引導學生根據因式分解的意義，因式分解的結果一定是乘積的形式，讓學生從形式上注意到這一點，就可以得出（1）不是在進行因式分解。（2）也不是在因式分解，雖然從形式上看，右邊是乘積的形式，但不要忽略了一點：如果某一項就是公因式，被提取之后，不能把這一項提沒有了，而應該考慮到最后分解的結果按多項式的乘法展開、整理后，等號左右兩邊的項數應該是一樣的，所以這一項提走之后應該保留1，否則就不是恒等變形了。這就是我們所說的因式分解與整式的乘法是互逆的恒等變形之最佳體現——分解的結果是否正確可以用整式的乘法來檢驗。（3）也不是在因式分解，因為我們一再強調因式分解的結果一定是乘積的形式，也就是說等號的右邊是乘積的結果，而本題卻反了過來，那它就屬于在進行整式的乘法了，倘若它的左右兩邊交換一下位置，就是因式分解變形了。教師此時再次強調，因式分解與整式乘法的聯系與不同，學生就可以理解得更透徹了。

2. 本節的學習中“整體思想”起著重要的作用，例如，提取公因式法分解因式中，a既可以表示單項式，又可以表示多項式，這時就需要把這個多項式當成一個整體來充當公式里的a；用公式法分解因式，公式中的a，b也可以表示任意一個代數式。教學中教師應有意識進行滲透，使整體思想逐步成為學生在恒等變形中的有力工具，為今后的學習打下基礎。例，因式分解6p（p+q）-4q（p+q），要注意本題除了系數有公因數外，還有一個含字母的公因式p+q，所以本題的公因式就是2（p+q），這里就將p+q當成一個“整體”來充當公式里的a了。如果本題改成：當p+q=2，p-q=-6 時，求6p（p+q）-4q（p+q）的值，那么整體思想就起到舉足輕重的作用了。

3. 教學中應培養學生靈活應用因式分解方法的意識，并要把握住“十四字”方針：先看有無公因式，再看能否套公式。這就是說：在進行因式分解時，先考慮提公因式法，再考慮公式法。不管用什么方法進行因式分解，分解的結果都要分解徹底——不能再分解為止。

【例】將下列各式因式分解：

（1）3x4-6x3

（2）4x3y-xy3

（3）a2-4ab+4b2

按照我們的“十四字”方針，先考慮提公因式法，（1）和（2）都有公因式，所以先提公因式；之后應考慮括號里能否再用公式法因式分解，此時（1）已分解徹底，那么到此結束，而（2）的括號里卻還可以用平方差公式進行分解，所以還要繼續分解下去，一直分解到不能再分解為止。而（3）沒有公因式，所以下一步應考慮公式法，它符合兩數差的完全平方公式，所以用公式法對（3）進行分解即可。

4. 本節內容豐富，方法多、技巧性強。《數學課程標準（實驗稿）》對因式分解雖有嚴格的界定，但根據我們蘇州市的特殊情況，以及為了和高考接軌，所以我們教師在教學中需要補充十字相乘法、分組分解法、立方和與差的內容及系數不為1的類型，以達到增加本節內容的深度和廣度的目的，讓每個學生都能全面掌握因式分解的方法。讓學生學有所值，學有所獲。筆者在這里列舉一些要利用以上各種方法解題的實例：

把下列各式進行因式分解：

（1）x2-3x-4

（2）2y2+10y-28

（3）2ax-10ay+5by-bx

（4）x3+x2y-xy2-y3

（5）m3-n3

（6）8a3-b3

（7）x2-y2-z2+2yz

5. 為了讓一部分學有余力的學生得到更好的發展，體現教材的彈性，在確保完成新課標規定的目標的基礎上，可以適當的增加一些有難度和深度同時又富有挑戰性的題目，例如：

把下列各式因式分解：

（1）-12a3b+2ab3

（2）-4（x-2y）2+9（x+y）2

（3）an+1-an-1b4

（4）x6-y6

這樣既可以擴大因式分解的方法又滿足了這部分學生的求知欲，從而提高了因式分解的技能與技巧。

三、 教學理念

1. 本節的設計是一個開放的教學過程，通過創設情境，激發學習的內在動力；提供給學生動手操作、主動探索的機會，如試一試、做一做等一系列活動，結合學生已有的認知結構，讓他們主動探究，通過觀察、討論、交流，從感知到理解因式分解，并能正確的進行因式分解，體現出學生的自主性。

2. 重視學生的感受。由于本節補充的內容較多，難以理解，所以讓學生在充分討論交流的基礎上由學生自己來判斷選擇哪種因式分解的方法，從而實現新課標的以學生為主體的學習，同時還有意識地培養了學生分析問題、推理問題和歸納問題的能力。在解決問題中發展學生的數學思維，形成策略意識，體驗成功的快樂。

參考文獻：

[1]姜燕平.讓數學課堂生動起來[J].成都教育學院學報，2006，（09）.

[2]朱俊杰.淺談數學教學中的小組合作學習[J].中學教學參考，2014，（26）：20.

作者簡介：

李雪靜，江蘇省蘇州市，吳中區木瀆實驗中學。endprint