平面與平面的二面角的幾個求解思路

曹佳穎

摘要：所謂二面角，是指由一條直線出發，兩個半平面組成的圖形，它是我們高中數學知識的重點。從現階段來看，很多同學尚未掌握到平面與平面的二面角正確求解方式。現在，我將綜合我的學習經驗，歸納出二面角的幾個求解方式，讓所有同學都能夠高效完成二面角知識的學習，具備一定的二面角問題解題能力，更好的解決日常學習中所遇到的二面角求解問題，希望都能借此攻克高考大關，取得優異的成績。

關鍵詞：平面；二面角；解題思路

前言：二面角大小，是我們立體幾何知識學習中的重點，也是高考的考點。但因二面角的求解題目比較復雜，需要我們充分發揮自己的空間想象力，很容易表現出低效率的解題問題。在這一背景下，為了保證解題過程的簡潔性、流暢性，我們在二面角大小問題判斷時，必須學會一些解題技巧，并總結出一些可行性的解題方法。以下就是我結合自己學習經驗所提出的二面角解題思路，望其能為現今高中生日常學習提供參考。

一、二面角學習概述

二面角是高中階段數學知識學習的重點。綜合我的實踐學習經驗發現，二面角作為一個重要概念，它關乎著我們空間角、旋轉體、多面體、面面垂直等位置關系的學習，有利于促進我們實際問題解決能力、邏輯思維能力、空間想象能力等綜合素質的發展。而從現階段來看，二面角領域的知識學習重點包括了二面角定義、二面角平面角定義、二面角平面角應用等等，這些知識的學習，要求我們學會觀察、類比所學內容，并結合教學大綱內容，安排自己的學習計劃。

我們通過對二面角知識的學習，不僅能夠正確認識到“二面角”的概念，也能夠充分發散自身思維能力，探究“二面角的平面角”應用，讓我們在接受辯證唯物主義思想教育的基礎上，養成良好的空間想象力，全身心的投入到數學知識學習中。

二、平面與平面的二面角求解思路

（一）坐標法

在平面與平面的二面角問題求解時，為了簡化問題求解過程，應采取坐標法求解方法。

例1：如下圖，在圓內，AB是直徑。假設，AB是2，AC是1，求出二面角C-PC-A的余弦值。

在這一道平面與平面的二面角問題求解時，為了達到最佳的問題求解效果，我采取了坐標法求解方式，將“幾何”與“代數”結合了起來。首先，假設α-l-β是一個二面角，這個二面角的平面角為θ，m是平面α的法向量，n是平面β的法向量，cosθ=cos=m·nm·n[1]。然后，做了一條直線CM，使CM與PA平行，并過點C。緊接著，把直線CB、CA、CM看作空間直角坐標系中的x軸、y軸、z軸，通過這一空間直角坐標系的建立，很容易可以求出m和n的法向量，就此得出二面角C-PC-A的余弦值，達到解題目的。

坐標法，是一個極為方便的解題方法，我建議，在日常學習中應強化對這一種解題方法的應用。

（二）觀察法

在我們日常學習中，為了達到高效性的知識學習狀態，簡化平面與平面的二面角求解，應善于采取觀察法解題方式。

例2：V-ABCD是一個四棱錐，其中，ABCD是一個正方形，VAD則是一個正三角形。如下圖，且VAD與ABCD相互垂直，求出VAD和VDB這兩個面的二面角。

在這一道題目求解時，為了保證解題流暢性，我以觀察法解題方式，先分析了題目中的已知條件。然后，在AD中點做了一個點O，把點O視為了空間直角坐標系的原點。待O-xyz空間直角坐標系建立完成后，假設底面正方形的邊長是1，求出了平面VBD和VAD的法向量，最終計算出了二面角的大小。結合我本次的解題經驗可知，觀察法的運用，容易讓我們對二面角大小做出判斷。如，本題中的二面角就可確定為銳角[2]。如此，可在一定程度上降低二面角求解難度，達到最佳的二面角問題解題效果。

其實，觀察法既簡單又可避免一些解題誤區，應合理化運用這一種解題方式，讓我們可以更好的發揮自身思維想象，解決更多的難點問題。

（三）向量自由性法

在平面與平面的二面角問題求解時，也應優化向量自由性法解題思路。這種解題方法，在實際問題求解中的運用，需要我們圍繞二面角的定義，以向量的自由平移性，探究問題答案。它在實際運用時雖然比較復雜，但可避免一些難點問題，簡化問題求解過程，不再進入運算誤區[3]。比如，在等腰梯形的二面角問題求解時，便可運用向量自由性法，讓解題過程變得更加直觀，達到高效性問題求解狀態，更為透徹的理解平面與平面的二面角問題解題思路，掌握一些解題技巧，養成良好的問題解決習慣。

結論：綜合我以往的學習經驗可知，平面與平面的二面角求解過程比較復雜，考察了我們的觀察能力和想象能力。此時，為了更為快速的解決一些二面角問題，提高題目求解效率和正確率，我認為，應將坐標法、觀察法、向量自由性法運用到日常學習中，以相對科學的解題方式，解答二面角問題。如此，不僅能夠讓我們實際問題解決能力有所提高，也可促使我們自己養成良好的數學知識學習習慣，形成良好的數學知識體系。

[參考文獻]

[1]張然，馮德軍，徐樂濤.基于Salisbury屏的二面角設計及其極化特性分析[J].雷達學報，2016，5（06）：658-665.

[2]魏振方，齊名軍.二面角的兩個半平面的法向量所成的角與二面角的關系[J].科技視界，2013，15（05）：133-134.

[3]陳皆紅，張紅，王超等.修正二面角散射模型的改進四分量分解[J].電波科學學報，2013，28（03）：559-566+583.

（作者單位：雅禮中學，湖南 長沙 410000）