一種著陸視覺導航P3P問題的解法

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(北京自動化控制設備研究所，北京 100074)

0 引言

PnP(Perspective-n-Point)問題是1981年首先由Fischler和Bolles[1]提出的，即給定n個空間點與圖像點之間的對應關系，確定物體坐標系與攝像機坐標系的剛體變換關系[2]。該問題主要被用來決定攝像機與目標物體之間的相對距離和姿態。近年來又在圖像分析和自動制圖學、計算機視覺、機器視覺與機器人學及攝影測量學等領域中廣受關注的攝像機定位問題中重新提出[3-5]。

Fishler和Bolles在文獻[1]中指出，要獲得一個封閉形式的解，最少需要3個控制點，因而提出了P3P(Perspective-3-Point)問題，并指出P3P問題最多有4個解，且解的上界是可以達到的。周鑫等證明了當3個特征點為等腰三角形，且特征點與攝像機間滿足某些約束條件時，P3P問題具有唯一解[3,6]。

無人機等飛行器著陸過程中，機場跑道左邊線、右邊線、起始線在機載成像裝置中將成像為一個三角形，在跑道標定信息、成像設備焦距等參數已知的情況下，由該三角形可唯一確定機場跑道與攝像機之間的相對位置與相對姿態，即確定該具體應用中P3P問題的唯一解。本文從物像共軛關系出發，提出了一種確定著陸導航P3P問題唯一解的方法。與傳統求解方法不同，該方法沒有直接根據點與點之間的對應關系，而是間接從線與線之間的共軛關系入手確定攝像機運動參數。

1 坐標系及其轉換

1.1 坐標系及其旋轉變換

1.1.1 坐標系定義

本文主要涉及世界坐標系、攝像機坐標系、圖像坐標系[7,8]，如圖1所示，其中跑道的半長為L，跑道的半寬為l。

圖1 著陸導航坐標系Fig.1 Landing navigation coordinates

世界坐標系(w系)：以跑道中心線的中心為原點ow；xw軸平行于跑道起始線，右向為正；yw軸沿跑道中心線，向后為正；zw軸垂直于跑道平面，向下為正；owxwywzw構成右手坐標系。

攝像機坐標系(c系)：以光學系統的像方主點為原點oc；當正對光學系統觀察時，xc軸平行于成像平面坐標系的橫軸，左向為正；yc軸平行于成像平面坐標系的縱軸，下向為正；zc軸指向觀察者，并與xc軸和yc軸構成右手坐標系。

圖像坐標系(i系)：建立在攝像機光敏面所在平面內的一個二維平面坐標系，以圖像左上角為原點，沿圖像水平方向向右為圖像坐標系的c軸，沿圖像垂直方向向下為圖像坐標系的r軸，圖像坐標系的單位是像素。

1.1.2 坐標系旋轉變換原理

本文涉及坐標系旋轉變換，為了便于后文描述，簡要介紹坐標系旋轉變換的基本方法如下。

設(x,y,z)為原坐標系下的坐標，(x′,y′,z′)為坐標系繞某軸旋轉θ角之后的坐標[9-10]，則

(1)

其中，坐標系分別繞X軸、Y軸、Z軸旋轉的坐標變換基為

(2)

1.2 視覺相對姿態角定義

視覺相對姿態角(簡稱相對姿態角)由相對滾動角γr，相對航向角ψr，相對俯仰角θr組成，描述了世界坐標系w與攝像機坐標系c之間的轉換關系。相對姿態角(γr，ψr，θr)的定義如下：

相對航向角ψr：以yc軸射向觀察者，繞該軸逆時針旋轉為正方向，范圍(-180°,+180°]；

相對俯仰角θr：以xc軸射向觀察者，繞該軸逆時針旋轉為正方向，范圍[-90°，+90°]；

相對滾動角γr：以zc軸射向觀察者，繞該軸逆時針旋轉為正方向，范圍(-180°,+180°]。

則世界坐標系w可由攝像機坐標系c按Z?Y?X的旋轉順序，分別旋轉-γr?-ψr?(-π/2-θr)而得，由此可得c系到w系的轉換關系為[11]

(3)

2 成像特性分析

當飛行器降落過程中，跑道在前下視成像設備中將成像為一個三角形，如圖2所示。其中跑道起始線ls與左邊線ll相交于點A，跑道起始線ls與右邊線lr相交于點B，左右邊線的延長線相交于點C。在世界坐標系中，AB兩點的地理定位是顯而易見的，而C點位于跑道中心線上無窮遠處，因此可將P3P問題由點對點轉化成線對線，下面分別從圖像坐標系與世界坐標系中對三條特征邊線進行描述。

圖2 跑道成像特性分析Fig.2 Characteristics of the runway imaging

2.1 圖像坐標系下的跑道邊線

跑道左邊線ll、跑道右邊線lr、跑道起始線ls在圖像坐標系中的方程可描述為

r+kic+qi=0 (i=l，r，s)

(4)

其中，r與c分別為像素點在圖像坐標系中行與列坐標值，ki與qi分別為直線方程的斜率與截距，(l,r,s)分別代表跑道左邊線、右邊線、起始線，寫成矩陣的形式即

(5)

2.2 世界坐標系下的跑道邊線

(6)

其中：

(7)

(8)

在式(4)兩邊同時左乘1×3矩陣[1kiqi]，并令

(9)

可得

(10)

(11)

即

(12)

代入式(9)，可得

(13)

(14)

代入式(9)，可得

(15)

3 相對姿態求解

通過機場跑道特征提取，得到跑道左邊線ll、跑道右邊線lr、跑道起始線ls三條直線，世界坐標系與攝像機坐標系之間的3個相對姿態角的求解以此三條直線為依據，其求解方法如下。

相對滾動角γr：機場與飛行器之間的相對滾動在成像時將反映在跑道起始線ls的斜率上，因此可通過對該直線的斜率求反正切的方式求得。

γr=arctan(ks)

(16)

相對航向角ψr：兩條跑道線的交點為C，機場與飛行器之間的相對航向在成像時將反映在C點與圖像中心點的水平偏差Δc(單位：像素)上。在相對姿態角定義時，是右航為正的，右航時C點偏左，Δc為負值。因此

(17)

相對俯仰角θr：機場與飛行器之間的相對俯仰在成像時將反映在C點與圖像中心點的垂直偏差Δr(單位：像素)上，因此

(18)

4 相對位置求解

將左跑道邊線方程xw=-l與右跑道邊線方程xw=l代入式(13)，整理得

(19)

將跑道起始線的方程yw=L代入式(15)，整理得

(20)

根據式(6)，可以獲得飛行器與機場之間的相對位置

(21)

5 結論

本文對飛行器著陸過程中機載成像設備的成像特性進行了分析，將此過程中飛行器與跑道之間相對位置姿態的求解問題抽象為P3P問題，并結合著陸過程特點提出了一種P3P問題唯一解的求解方法。該方法從物像的共軛關系出發，提出了先進行相對姿態求解再進行相對位置求解的策略。可以看出，在相對姿態明確的基礎上，通過跑道左右邊線可以唯一確定飛行器與跑道之間的側向、垂向偏移，通過跑道的起始線可唯一確定飛行器與跑道之間的徑向偏移。由于飛行器一般都配備有慣性導航設備，因此可將其與機載成像設備組成慣性/視覺組合導航系統，在跑道事先標定的基礎上，由慣性導航設備提供相對姿態輔助視覺導航；與此同時視覺導航提供相對位置修正慣導誤差，形成相互修正的慣性/視覺深度組合機制。

[1] Fishler M A，Bolles R C.Random sample consensus：a paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography[J].Communications of the ACM,1981,24(6):381-395.

[2] 孫鳳梅, 王衛寧.基于單個平行四邊形單幅圖像的物體定位[J].自動化學報,2006,32(5):746-747.

[3] 周鑫, 朱楓.關于P3P 問題解的唯一性條件的幾點討論[J].計算機學報,2003,26(12):1696-1701.

[4] 郝穎明, 朱楓, 歐錦軍,等.P3P位姿測量方法的誤差分析[J].計算機工程與應用,2008,44(18):239-242.

[5] Dosse M B, Kiers H A, Berge J M. Anisotropic generalized procrustes analysis[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2011,55(5):1961-1968.

[6] 張珍.無人機自主著陸的視覺識別與定位算法設計及仿真研究[D].南京：南京航空航天大學,2008.

[7] 楊少榮, 吳迪靖, 段德山. 機器視覺算法與應用[M].北京: 清華大學出版社,2008.

[8] 張廣軍. 機器視覺[M].北京: 科學出版社,2005.

[9] 孫婷, 刑飛, 尤政.一種基于天體運動學的星敏感器精度測量方法[J].清華大學學報(自然科學版),2012,52(4):430-435.

[10] 李廣宇. 天球參考系變換及其應用[M].北京: 科學出版社,2010.

[11] 秦永元. 慣性導航[M].北京: 科學出版社,2006.