本科概率統計教學探討

范振耀

【摘 要】在概率統計教學中，探索興趣與啟發能力，采用結合具體實例的方法，取得了一定的教學效果.

【關鍵詞】概率統計；興趣；帕斯卡分布；二項分布

中圖分類號： O21-4；G642.4 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）30-0076-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.30.031

The Discussion on Undergraduate Probability and Statistics Teaching

FAN Zhen-yao

（The Basic teaching department，TangShan College，063000，China）

【Abstract】In the teaching of probability and statistics，exploring interest and inspiring ability，and adopt the methods of combining the specific examples，obtained some teaching achievements.

【Key words】Probability and Statics；interest；Pascal distribution；Binomial distribution

概率統計是大學本科開設的一門主要的基礎學科，它來源與實際生活，現實生活中的許多問題都要用它來就解決。概率統計在自然科學，社會科學，工農業生產，金融，經濟方面有這廣泛的應用。而目前許多的概率統計教材都普遍側重理論而輕視應用，從某種程度上而言，概率統計的教學成了高等數學的教學，而忽視了這一學科本身特有的思想方法，造成同學們改到難學，乏味，無趣，直至厭學。針對這種情況，本人結合自己在教學中的體會，對概率統計教學進行了一些探索。取得了較好的結果。

1）挑選有趣味性的問題

興趣是最好的老師，也是學習的原動力。概率統計來源于實際生活，其本身也是一門極具有趣味性的科學，有著大量的充滿趣味性的，貼近我們的實際生活的例子，如果教師在授課過程中多多的講解這樣的例子，必然能提高學生們學習的興趣，增加他們的求知欲。例如在講授隨機變量的期望時我們可以引入如下例子：有一個擺地攤的人拿了8個白的，8個黑的圍棋子，放入一個袋子里。說：“凡愿摸彩者，須交5元錢的手續費，然后一次從袋中摸出5個棋子。攤主按照地面鋪著的一張”模子中彩表“給彩”。如下表：

這個游戲規則簡單，費用也不高，所以吸引了許多的人來撞運氣，結果是掃興者居多。為什么會出現這樣的結果？帶著這樣的問題我們引入隨機變量數學期望的概念并用它來解決這個問題，我想不僅可以使學生加深對隨機變量數學期望的理解，更體會到了學習的快樂。

2）利用直觀背景激發學習興趣

隨機變量的一個分布都可以視為一個特定的數學模型，都有它自己的直觀背景。例如我們熟悉的帕斯卡分布[2]（負二項分布）： 就是數學家帕斯卡為了解決法國貴族De Mere 提出的賭博中如何分賭注問題而引入的離散隨機變量的分布。所以我們在教學過程中注意用模型的觀點來解釋，會收到更好的效果。我們以離散型分布為例。二項分布，幾何分布，帕斯卡（Pascal）分布與超幾何分布時幾個非常常見的離散型分布，也是非常重要的分布，產生這幾個分布的直觀背景就是如下的摸球問題。

一袋中有N個白球，M個黑球。現有放回從袋中摸球，求

1）在n次摸球中恰好摸到k（k=0，1，…，n）個黑球的概率。

2）第k次才摸到黑球的概率。

3）第r次摸到黑球是在第k次摸球時實現的概率（r？燮k）。

4）如果摸球是不放回的，求在n次摸球中恰好摸到k（k=0，1，2，…，min（M，nM，n））

解：（1）由于袋中有N+M個球且摸球是有放回的，故每次摸球都有N+M種可能。現設上述所論4個事件分別為A，B，C，D。對于A僅需前n次摸球，應該有（M+N）n中情況，即樣本空間有（M+N）n個樣本點，由于A表示n次摸球恰有k次摸到黑球，有C 種情況，每種情況都有M N 中可能，又由于每種情況都是兩兩互斥的，故A有C M N 個樣本點，由古典概型定義有 ，其中p= 。

由于C p （1-p） 是二項展開式 的一般項，故稱為二項概率。

（2）由于B表示第k次才摸到黑球，我們只需考慮前k次摸球即可。此時的樣本空間有（M+N）k個樣本點，第k次摸到黑球表示前k-1次都摸到白球，第k次才摸到黑球，故B中的樣本點數為N M個，由古典概率定義知 ，k=0，1，2，…，其中p= 。

由于（1-p） p是幾何級數 中的一般項，故稱為幾何概率。

（3）C表示第r次摸到黑球是在第k次摸球時發生，我們僅需考慮前k次摸球即可，此時樣本空間有（M+N）k個樣本點。第k次摸到黑球，有M中可能，而前k-1次摸到r-1個黑球，由二項概率計算有C M N 中可能，故C中有C M N M個樣本點，由古典概率定義有 其中p= 。

由于

所以 稱為負二項概率，也稱為帕斯卡概率。

（4）由于D表示在不放回摸球時，摸出的n個球中恰有k個黑球，由有限不放回抽樣且D與順序無關，故 ，稱此概率為超幾何概率。

上述4個概率中的k實際上為隨機變量（用X表示）。

概率論與數理統計是一門實用性非常強的數學學科，有其很強的應用背景，所以要求老師不僅要把學科里面涉及的公式定理給同學們講透徹，還要結合具體的實際例子，這樣課堂效果才會更有效。

【參考文獻】

[1]沈恒范，等.概率論與數理統計教程（第六版）[M].高等教育出版社.2010.

[2]魏宗舒等編.概率論與數理統計[M].高等教育出版社，1997.