由江蘇省中職對口高考數列試題例談數列求和方法

摘要：上世紀90年代中期，隨著國家經濟政策的調整，適應社會對人才的需求，同時也為扶持中等職業學校的發展，滿足職專學生升學深造的愿望，國家教育部出臺了“對口高考”政策。對口高考是國家從高校招生計劃中選擇部分專業，拿出專門指標，對希望繼續深造的中等職業學校學生進行對口專業的考試，為優秀的中等職業類學生提供上大學深造的機會，對口高考的學生大學畢業后和同年通過普通高考進入大學深造的學生享受同等待遇。對口高考科目有語文、數學、英語和相應專業理論基礎和實踐技能。與普通高考相比，對口高考具有考試難度小，門檻低，參加考試人數少，升學錄取率高等優點。而對口高考科目中，數學的重要性對參考學生來說尤為重要，試卷中數列和平面解析幾何的綜合題又往往被作為壓軸題，決定著學生能否在對口高考中勝出。

關鍵詞：例談；對口單招；數列求和；方法

在數列知識的學習過程中，數列求和問題是最基本的一項內容。由于數列求和問題較多，技巧性也非常強，從而導致數列求和成為中職生參加對口高考的難點知識。本文通過江蘇省對口高考新高考（2014年實施）對數列求和的要求，介紹具體的解題方法和技巧，有利于幫助中職生更好地理解數列求和的知識點，提升中職生解決對口高考數學考試中數列求和問題的能力。

一、 利用公式求和法

這類試題往往是比較單一的等差數列或等比數列，直接利用等差數列或等比數列的前n項和公式，代入相應的數據，求得最后的結果，這種方法往往結合函數應用題進行考查。

如2015年江蘇省對口高考數學試卷第21題：

某職校畢業生小李一次性支出72萬元購廠創業，同年另需投入其他經費18萬元，以后每年比上一年多投入4萬元。假設每年的銷售收入都是50萬元，用f（n）表示前n年的純利潤（注：f（n）=（前n年的總收入）-（前n年的其他經費支出）-（購廠支出））。（1）問：小李最短需要多長時間才能收回成本？（2）若干年后，為轉型升級，進行二次創業，現有如下兩種處理方案：方案一：年平均利潤最大時，以48萬元出售該廠；方案二：純利潤總和最大時，以15萬元出售該廠。問：采取哪種方案更好？

該題中“前n年的其他經費支出”便是以18為首項，4為公差的等差數列的前n項和，直接利用等差數列的前n項和公式Sn=na1+n（n-1）2d，代入a1=18，d=4得前n年的其他經費支出為2n2+16n。

二、 分組求和法

分組求和法：就是將數列的通項分成兩項，而這兩項往往是常數或是等差（比）數列，進而利用等差數列或等比數列的求和方法分別求和，然后再合并，從而得到該數列的前n項和。

如2014年江蘇省對口高考數學試卷第21題：

已知等比數列{an}的前n項和為Sn=A·2n+B，其中A，B是常數，且a1=3。（1）求數列{an}的公比q；（2）求A，B的值及數列{an}的通項公式；（3）求數列{Sn}的前n項和Tn。

該題在第（2）問中得到Sn=3·2n-3，n∈N+，因為數列{Sn}既不是等差數列，也不是等比數列，所以它的前n項和Tn=3·2-3+3·22-3+…+3·2n-3。即Tn=3（2+22+23+…+2n）-3+3+3+…3n。然后分別利用等比數列前n項和求2+22+23+…+2n的和，用常數列求和求3+3+3+…+3n的和，再將兩和合并即可。

三、 裂項相消求和法

把數列的通項拆分為兩項之差，使之在求和時產生前后相互抵消的項的求和方法。這種方法往往應用于數列的通項公式呈現以下基本形式時：（1）an=1n（n+1）=1n-1n+1，n∈N+；（2）an=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，n∈N+。

如2015年江蘇省對口高考數學試卷第20題：

已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且滿足an+1-2Sn=1（n為正整數）。（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=log3an+1，求數列{bn}的前n項和Tn；（3）設cn=12Tn，求數列{cn}的前100項和R100。

該題最終得出數列{cn}的通項公式cn=1n（n+1），n∈N+，求R100時，只要求出數列{cn}的前n項和Rn，然后將n=100代入即可。將cn裂項得cn=1n-1n+1，n∈N+所以Rn=11-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，則R100=100101。

四、 錯位相減求和法

這種方法主要是應用于數列的通項表示成一個等差數列和一個等比數列的積的形式。在求這種數列的前n項和時，先在前n項和等式兩邊同時乘以等比數列的公比后，對應好兩個等式中指數冪相等的項，再用其中一個等式減另一個等式整理而得前n項和公式。

如2016年江蘇省對口高考數學試卷第23題：

設數列{an}與{bn}，{an}是等差數列，a1=2，且a3+a4+a5=33；b1=1，記{bn}的前n項和為Sn，且滿足。（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{bn}的通項公式；（3）若cn=an+13bnSn+1=23Sn+1，求數列{cn}的前n項和Tn。

本考題在第（3）問中可得出數列{cn}的通項公式cn=n·32n-1，n∈N+。將數列{cn}的通項公式看成是等差數列{n}和等比數列32n-1相乘而得，因此在數列{cn}前n項和Tn=1·320+2·32+3·322+…+n·32n-1……①的兩邊同時乘以等比數列32n-1的公比32得：

32Tn=1·32+2·322+…+n-1·32n-1+n·32n……②。用①-②得：

-12Tn=320+32+322+…+32n-1-n·32n……③。

而320+32+322+…+32n-1是等比數列32n-1的前n項和，利用等比數列前n項和公式Sn=a11-qn1-q將a1=1，q=32代入公式得：

320+32+322+…+32n-1=2·32n-1。代入③整理得：

Tn=（2-n）·32n-2。

數列是中職數學的重要內容，又是將來升入高校學習高等數學的基礎。在對口高考中都占有重要的地位。數列求和是對口高考對數列知識考查的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的方法和技巧。以上是江蘇省對口高考新高考數學考試中數列綜合題應用的四種求和方法，中職生只有真正掌握了解決中職數學數列的求和解題方法和技巧，才能提高解題效率，在將來的對口高考中遇到同類型的求和問題能夠輕松準確的解答出來。

作者簡介：

丁恩安，江蘇省高郵市菱塘民族中等專業學校。endprint