基于高等數學指導的高中數學教學實踐與思考

許楚濱

摘要：《導數及其應用》是高中新課程標準增加的主要內容，是高等數學微積分理論在高中數學的下移。受限于高中生的認知水平與高中課程編排，產生知識上斷層和方法上的缺失。本文是基于作者的教學實踐，就本章內容談談高等數學對高中數學教學的指導、補充和拓展。

關鍵詞：高等數學；高中教學；導數； 概念； 解題

高中教學的內容是常量數學和變量數學的初步知識，是高等數學的基礎，高等數學是高中數學的升華。《導數及其應用》作為新課標新增加的內容，實際上是將高等數學《數學分析》部分內容下移到高中教材上，學時上跨越了高校和高中兩個階段。在實際的教學過程當中，高等數學研究問題的深度和廣度較于高中有較大的優越性和基礎性，因此具體概念闡述更加規范科學，在解題應用方面更能提供方向和深度的拓展。

一、 高等數學的邏輯嚴密性指導下的高中數學概念教學更加嚴謹科學

高中數學課程在有些知識點上面邏輯性顯得不夠嚴謹，且高中教師教學上偏重學生的直觀認識，往往會造成學生對某些知識點，特別是基本概念的理解出現模糊甚至是錯誤，給高中教學帶來負面的影響。

（一） 關于切線概念理解和解題誤區

在初等數學的教學安排中，由于切線的概念是在模塊Ⅱ引入與介紹的，因此，學生對于切線的理解會借助直線與圓這一直觀的平面幾何模型進行識記。大部分的學生會形成這樣的概念：切線就是直線與曲線有唯一交點的直線，而且這一概念在后來的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的學習過程中，尤其是在求閉合曲線的切線問題時，屢屢得到證明和正確的應用，學生更加確信了對切線的理解的正確。這一簡單直接的認識從高等數學的角度來看是錯誤的，但是，教材上并沒有專門就這一問題與學生展開探討。比如在解答如下問題時，離開了解析幾何的閉合曲線，學生就容易出現錯誤：

案例1 已知函數為f（x）=13x3，求過點P2，83的切線方程。

學生的常規錯誤解法：f′（x）=x2，所以k=f′（2）=4，由點斜式可得切線方程為y-83=4（x-2）。

再進一步整理得標準形式：12x-3y-16=0。

分析：這顯然是一種很常規的錯誤，錯誤的最根本原因就在于對切線的理解，即“切線就是直線與曲線有唯一交點的直線”。對此讓我們來看看高等數學對于切線的定義，然后再來得出正確的解法：

如圖1，設曲線C是函數y=f（x）的圖像，點P（x0，y0）是曲線C上一點，點Q（x0+Δx，y0+Δy）是曲線C上與點P鄰近的任意一點，作割線PQ，當點Q沿著曲線C無限地走近于點P，割線PQ便無限地走近于某一極限位置PT，我們把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線。

三、 高等數學對高中數學教學指導思考

數學作為一完整的知識學科，高等數學與初等數學是一個不能割裂的整體。新課程標準將包括微積分、極限、向量和線性規劃部分下放到高中階段，更加顯得高等數學與高中教學的整體性。如何在教學實踐中做好高等數學與高中教學的銜接，利用高等數學指導高中數學教學，筆者僅從一個高中教師角度提出以下兩點見解。

首先，充分認識到高中數學與高等數學的關系，兩者有基礎和升華的關系，但不是一個絕然的割裂。固然高等數學與高中數學在教學內容上有重復、知識脫節和嚴謹性問題，但高等數學指導高中數學教學有重要意義，這種指導對于提高高中數學教學質量和教學水平，拓寬學生解題思路，提高學生的應用知識解決問題的能力具有非常深遠的意義。

其次，要敢于直面教學中的問題，以問題為導向主動向高等數學的教材尋求解決辦法。作為一線的教師要將教學實踐中的問題區分為知識上，還是方法上的問題，進行必要的積累，像本例中的案例1屬于學生典型的對于“切線”問題認知模糊不清，那么教師就應以“切線”為問題的索引，翻閱文獻于更高層次的高等數學教材中去導求相關的答案，并做出及時的教學調整，實現高等數學對高中教學在知識層面的補充更正，對概念的厘清。案例4中，是在解題教學過程中出現了方法的困惑，無法找到更好的直接解題方法，屬于方法問題，教師結合個人的大學學習知識，從高等數學中尋求“極限”的方法引導學生進行更好的解答，完善認知結構，提升對高中數學學習的深刻認識。

四、 反思與不足

本文僅僅站在一個普通高中教師的實踐基礎上，基于日常教學與解題中碰到的困難，從學生的學習角度，在《導數及其應用》的實例中感悟高等數學與高中教學的連貫性，體驗到高等數學在知識和方法上對高中教學指導的必要性和實用性。在理論研究和系統闡述顯然有明顯的不足，有待在后續教學中進一步的積累總結。

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