關于超幾何分布的探究

摘要：概率是描述隨機事件發生可能性大小的度量。把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，就可以利用數學工具來研究所感興趣的隨機現象。超幾何分布是離散型隨機變量的分布列中具有實際意義的一種。高考中對超幾何分布的要求是：理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用。

關鍵詞：概率；隨機變量；超幾何分布

一、 超幾何分布的數學期望和方差

定義一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則

P（X=k）=CkM·Cn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m。

X01……m

PC0M·Cn-0N-MCnNC1M·Cn-1N-MCnN……CmM·Cn-mN-MCnN

其中，m=min{M，N}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列，如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布，記作：X～H（n，M，N）。

從定義中可以看出，若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：①該試驗是不放回地抽取n次；②隨機變量X表示抽取到的次品件數（或類似事件），反之亦然。在解決超幾何分布的問題時，應該先確定參數n，M，N的值；其次，根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；最后，用表格的形式列出分布列，進而可以計算數學期望和方差及一些概率問題。

若隨機變量X～H（n，M，N），隨機變量X的數學期望和方差是否如二項分布那樣，也與參數n，M，N有關呢？我們一探究竟吧。

由超幾何分布的定義可知：P（X=k）=CkM·Cn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，N}。因此，E（X）=∑mk=0k·P（X=k）=∑mk=0k·CkM·Cn-kN-MCnN=∑mk=1M·Ck-1M-1·Cn-kN-MCnN=MCnN·∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M，因為（1+x）N-1=（1+x）M-1·（1+x）N-M，利用二項式定理比較兩邊xn-1的系數，（1+x）M-1=C0M-1+C1M-1·x+C2M-1·x2+…+CM-1M-1·xM-1，（1+x）N-M=C0N-M+C1N-M·x+C2N-M·x2+…+CN-MN-M·xN-M，所以，∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M=Cn-1N-1，故E（X）=M·Cn-1N-1CnN=n·MN。又因為D（X）=∑mi=0[xi-E（X）]2·pi=∑mi=0x2i·pi-E（X）2，所以，D（X）=∑mk=0k2·CM·Cn-kN-MCnN-nMN2=MCnN·∑mk=0k·Cn-kM-1·Cn-kN-M-nMN2=MCnN·∑mk=0（k-1）·Cn-kM-1·Cn-kN-M+MCnN·∑mk=0Cn-kM-1·Cn-kN-M-nMN2=M（M-1）CnN·∑mk=2Ck-2M-2·Cn-kN-M+MCnN·∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M-nMN2。

利用組合數公式∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M=Cn-1N-1得，∑mk=2Ck-2M-2·Cn-kN-M=Cn-2N-2。

從而，

D（X）=M（M-1）CnN·Cn-2N-2+MCnN·Cn-1N-1-nMN2

=MCnN·[（M-1）·Cn-2N-2+Cn-1N-1]-nMN2

=M·n·（N2-M·N-n·N+M·n）N2·（N-1）

=n·M·（N-M）·（N-n）N2·（N-1）。

即，D（X）=n·M·（N-M）·（N-n）N2·（N-1）。

二、 總結

通過公式的推導，我們發現，超幾何分布的數學期望和方差推導過程比較復雜，但是從這個過程中可以體會出推理思路，有利于我們更好地理解超幾何分布，應用公式解決問題。

作者簡介：

鮑毅，寧夏回族自治區銀川市，寧夏六盤山高級中學。endprint