定積分與極限

摘要：定積分的定義源于極限，當函數在閉區間上可積時，極限都存在且是同一個值.進行特殊的分割和特殊的取值，會產生各式各樣的收斂數列.

關鍵詞：定積分；數列；極限

一、 引言

當函數f（x）在閉區間[a，b]上連續時，則其可積.積分定義為limd→0∑nk=1f（ξk）Δxk=∫baf（x）dx，其中Δxk=xk-xk-1，ξk∈[xk-1，xk]，d=max1≤k≤nΔxk（k=1，2，…，n），其中x0=a，xn=b.

這里，對區間[a，b]的分割并不一定是等分，且ξk的選取也是任意的.當函數f（x）在閉區間[a，b]上可積時，則無論怎樣分割區間[a，b]，無論如何選取ξk，極限limd→0∑nk=1f（ξk）Δxk都存在且是同一個值，即為函數f（x）在閉區間[a，b]上的積分值.那么，進行特殊的分割和特殊的取值ξk，式子limd→0∑nk=1f（ξk）Δxk=∫baf（x）dx也成立.

二、 區間[a，b]n等分

設a，b為非負實數，對區間[a，b]施行n等分，得分點為xk=a+kb-an（k=0，1，2，…，n），則Δxk=b-an，那么d→0等價于n→∞，于是limd→0∑nk=1f（ξk）Δxk=limn→∞∑nk=1f（ξk）b-an=limn→∞b-an∑nk=1f（ξk）=∫baf（x）dx，這時，得 limn→∞1n∑nk=1f（ξk）=1b-a∫baf（x）dx.

特別地，取a=0，b=1，即在區間[0，1]上，得分點為xk=kn（k=0，1，2，…，n），Δxk=1n，則有limn→∞1n∑nk=1f（ξk）=∫10f（x）dx.再取特殊的函數代入，得到一些極限式子.

在區間[0，1]上，取函數f（x）=11+x，f（x）=11+x2，f（x）=sinπ2x，f（x）=ln（1+x），f（x）=14-x2，f（x）=xp（p>0），f（x）=2x等代入式子limn→∞1n∑nk=1f（ξk）=∫10f（x）dx，得到

limn→∞1n∑nk=111+ξk=∫1011+xdx=ln2，limn→∞1n∑nk=111+ξ2k=∫1011+x2dx=π4，limn→∞1n∑nk=1sinπ2ξk=∫10sinπ2xdx=2π，limn→∞1n∑nk=1ln（1+ξk）=∫10ln（1+x）dx=2ln2-1，limn→∞1n∑nk=114-ξ2k=∫1014-x2dx=π6，limn→∞1n∑nk=1ξpk=∫10xpdx=1p+1，limn→∞1n∑nk=12ξk==∫102xdx=1ln2等.

進一步地，在區間[0，1]上，取ξk為特殊的點，得到更直接的極限式子.

若取ξk為子區間[xk-1，xk]的后端點，即ξk=xk=kn（k=1，2，…，n），得極限式子為

limn→∞1n∑nk=111+ξk=limn→∞∑nk=11n+k=ln2，即limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=ln2，

limn→∞1n∑nk=111+ξ2k=limn→∞∑nk=1nn2+k2=π4，即limn→∞nn2+1+nn2+4+…+12n=π4，

limn→∞1n∑nk=1sinπ2ξk=limn→∞1n∑nk=1sinkπ2n=2π，即limn→∞1nsinπ2n+sin2π2n+…+sinnπ2n=2π，

limn→∞1n∑nk=1ln（1+ξk）=limn→∞1n∑nk=1ln1+kn=2ln2-1，即limn→∞lnn（1+n）（2+n）…（n+n）n=ln4e，

limn→∞1n∑nk=114-ξ2k=limn→∞1n∑nk=114-kn2=π6，即limn→∞14n2-1+14n2-4+…+13n=π6，

limn→∞1n∑nk=1ξpk=limn→∞1n∑nk=1kpnp=1p+1，即limn→∞1+2p+3p+…+npn1+p=1p+1，

limn→∞1n∑nk=12ξk=limn→∞1n∑nk=12kn=1ln2，即limn→∞1n（n2+n22+…+n2n）=1ln2.

若取ξk為子區間[xk-1，xk]的前端點，即ξk=xk-1=k-1n（k=1，2，…，n），則有極限式子為

limn→∞1n∑nk=111+ξk=limn→∞∑nk=11n+k-1=ln2，即limn→∞1n+1n+1+…+12n-1=ln2；limn→∞1n∑nk=111+ξ2k=limn→∞∑nk=1nn2+（k-1）2=π4，即limn→∞1n+nn2+1+nn2+4+…+12n2-2n+1=π4；limn→∞1n∑nk=1ξpk=limn→∞1n∑nk=1（k-1）pnp=1p+1，即limn→∞1+2p+3p+…+（n-1）pn1+p=1p+1；limn→∞1n∑nk=12ξk=limn→∞1n∑nk=1n2k-1=1ln2，即limn→∞1n（1+n2+n22+…+n2n-1）=1ln2等.

若取ξk為子區間[xk-1，xk]的中點，即ξk=12（xk-1+xk）=2k-12n（k=1，2，…，n），

則有極限式子limn→∞1n∑nk=111+ξk=limn→∞∑nk=122n+2k-1=ln2，即limn→∞12n+1+12n+3+…+12n+2k-1=ln2；

limn→∞1n∑nk=111+ξ2k=limn→∞∑nk=14n4n2+（2k-1）2=π4，即limn→∞n4n2+1+n4n2+9+…+n8n2-4n+1=π16；

limn→∞1n∑nk=1ξ2k=limn→∞1n∑nk=12k-12n2=13，即limn→∞1n3（2+9+…+4n2-4n）=43等.endprint

若取ξk為xk-1，xk的幾何平均數，即ξk=xk-1xk=k（k-1）n（k=1，2，…，n），則有極限式子limn→∞1n∑nk=111+ξk=limn→∞∑nk=11n+k（k-1）=ln2，即limn→∞1n+1n+2+1n+6…+1n+k（k-1）=ln2；limn→∞1n∑nk=111+ξ2k=limn→∞∑nk=1nn2+k（k-1）=π4，即limn→∞1n+nn2+2+nn2+6+…+12n2-n=π4；limn→∞1n∑nk=1ξ2k=limn→∞1n3∑nk=1k（k-1）=13，即limn→∞1n3（2+6+12+…+n2-n）=13；limn→∞1n∑nk=12ξk=limn→∞1n∑nk=1n2k（k-1）=1ln2，即limn→∞1n（n22+n26+…+n2n（n-1））=1ln2等.

像這樣的做法，還會產生更多的極限形式。

三、 區間[a，b]不n等分

（一） 第k個小區間的長度是第一個小區間的長度的k倍

設a，b為非負實數，將區間[a，b]分成n個小區間，使第k個小區間的長度是第一個小區間的長度的k倍，則第一個小區間的長度為Δx1=2（b-a）n（n+1），于是Δxk=2（b-a）kn（n+1）（k=1，2，…，n），得

分點為xk=a+（b-a）k（k+1）n（n+1）（k=0，1，2，…，n）.那么d→0等價于n→∞，則limd→0∑nk=1f（ξk）Δxk=limn→∞∑nk=1f（ξk）2（b-a）kn（n+1）=limn→∞2（b-a）n（n+1）∑nk=1kf（ξk）=∫baf（x）dx，得到limn→∞1n（n+1）∑nk=1kf（ξk）=12（b-a）∫baf（x）dx.

特別地，取a=0，b=1，即在區間[0，1]上，于是分點為xk=k（k+1）n（n+1）（k=0，1，2，…，n），這樣的式子為limn→∞1n（n+1）∑nk=1kf（ξk）=12∫10f（x）dx.

取函數f（x）=11+x，取ξk=xk=k（k+1）n（n+1）（k=1，2，…，n），得limn→∞1n（n+1）∑nk=1kf（ξk）=limn→∞∑nk=1kn2+n+k2+k=12∫1011+xdx=ln2，即limn→∞1n2+n+2+2n2+n+6+…+12n+2=ln2；若取ξk為子區間[xk-1，xk]的中點，即ξk=12（xk-1+xk）=2k2n（n+1）（k=1，2，…，n），得

limn→∞1n（n+1）∑nk=1kf（ξk）=limn→∞∑nk=1kn2+n+2k2=12∫1011+xdx=ln2，即

limn→∞1n2+n+2+2n2+n+8+…+13n+1=ln2.

取函數f（x）=11+x2，取ξk=xk-1xk=kk2-1n（n+1）（k=1，2，…，n），得

limn→∞1n（n+1）∑nk=1kf（ξk）=limn→∞∑nk=1n（n+1）kn2（n+1）2+k2（k2-1）=12∫1011+x2dx=π8，即

limn→∞1n（n+1）+2n（n+1）n2（n+1）2+12+3n（n+1）n2（n+1）2+72+…+12n=π8.

取函數f（x）=x2，取ξk=xk-1xk=kk2-1n（n+1）（k=1，2，…，n），得limn→∞1n（n+1）∑nk=1kf（ξk）=limn→∞∑nk=1k3（k2-1）n3（n+1）3=12∫10x2dx=16，即limn→∞24n3（n+1）3+236n3（n+1）3+…+n-1（n+1）2=16.

像這樣的做法，還會產生更多的極限形式。

（二） 后一小區間的長度是前一個小區間的長度的2倍

設a，b為非負實數，將區間[a，b]分成n個小區間，使后一個區間的長度是前一個區間的長度的2倍，則第一個小區間的長度為Δx1=b-a2n-1，于是Δxk=2k-1（b-a）2n-1（k=1，2，…，n），得分點為

xk=a+（b-a）（2k-1）2n-1（k=0，1，2，…，n）.那么d→0等價于n→∞，得limd→0∑nk=1f（ξk）Δxk=limn→∞∑nk=1f（ξk）2k-1（b-a）2n-1=limn→∞b-a2n-1∑nk=12k-1f（ξk）=∫baf（x）dx，從而有limn→∞12n-1∑nk=12k-1f（ξk）=1b-a∫baf（x）dx.

特別地，取a=0，b=1，即在區間[0，1]上，于是分點為xk=2k-12n-1（k=0，1，2，…，n），這樣的式子為limn→∞12n-1∑nk=12k-1f（ξk）=∫10f（x）dx.

取函數f（x）=11+x，取ξk=xk=2k-12n-1（k=1，2，…，n），得limn→∞12n-1∑nk=12k-1f2k-12n-1=limn→∞∑nk=111+2k-12n-12k-12n-1=limn→∞∑nk=12k-12n+2k-2=∫1011+xdx=ln2，即

limn→∞12n+1+12n-1+1+22n-1+3+…+2n-22n-1=ln2.

取函數f（x）=x2，取ξk=xk-1xk=（2k-1-1）（2k-1）2n-1（k=1，2，…，n），得

limn→∞12n-1∑nk=12k-1（2k-1）（2k-1-1）（2n-1）2=∫10x2dx=13，即limn→∞∑nk=12k-1（2k-1）（2k-1-1）（2n-1）3=13.

像這樣的做法，還會產生更多的極限形式。

四、 結束語

定積分的定義過程依賴于極限，其實定積分是一個極限值。然而，如果突然遇到某個求極限的問題，實際上很難順利地求出結果。在定積分的定義中，由于分割是任意的，自變量取值是任意的，從而可以進行特殊化，又把函數也特殊化，就得到各式各樣的極限式子。所以，這樣由一般進行特殊化，就能夠自己構造產生出許多極限式子，以作為儲備。像上面這樣的做法，還會產生更多的極限形式，在此不贅述了。

參考文獻：

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作者簡介：

黃朝軍，貴州省黔東南苗族侗族自治州，凱里學院理學院。endprint