構造函數證明含有指數和對數的不等式

龔世杰

【摘 要】證明函數不等式的的方法有很多，通常可以構造函數，構造函數中，當含有指數函數或是對數函數時，由于求導數之后導函數的零點不好確定，導致分析原函數的單調性會變得困難，本文主要研究了如何把函數不等式拆成兩個函數，從而將問題轉化為兩個函數最值之間的比較，這樣表解決了部分函數求導之后導函數很復雜的問題。

【關鍵詞】 證明不等式 構造函數 指數與對數 最值

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）36-0177-01

在選修的課本中介紹了指數函數與對數函數及冪函數的增長速度的問題，這里便為我們研究構造函數的問題提供了一種思路，在利用函數證明不等式的時候，構造由冪函數與指數函數及對數函數構成新的函數，將題目中給出的不等式，經過合理的變換，使之變成的形式，然后再利用導數得到在定義域上，從而得出不等式成立，在思路上比較簡潔，但是難點在于如何構造函數，使得能得出及，而在構造函數當中，最難處理的是遇到指數函數和對數函數的問題時.本文從幾個常見的函數類型出發，研究函數的構造方法。

1 構造成類型函數

若函數則對任意，在上單調遞增，在上單調遞減，.

例1 已知，求證：當時，

解析 要證，

即證，令，，.因為，所以恒成立，所以在上單調遞減.故.

又因為，當時恒成立，故.所以恒成立，故當時，.

評注 若采用一般的方法構造函數，即構造函數，再證時，對求導，，導數的零點不好求，導致單調性無法判斷，無法進行下一步的運算。

2 構造成類型函數

若，則當在上單調遞增，在上單調遞減，.當時，在上單調遞減，在上單調遞增，，

特別的，當時，若，在上單調遞減，在上單調遞增，，若，在上單調遞增，在上單調遞減，

例2 已知函數.，證明：當時，不等式恒成立.

解析 要證，即證成立，

令，

下證.，得，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以.，，得，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，即當時，不等式恒成立.

評注 若構造函數，再證時，對求導，，再令，則在上單調遞增且存在零點，故存在零點，但零點無法計算得出，將零點整體代換有難度，導致無法進行下一步的運算。

例3 已知函數，證明：當時，不等式恒成立.

解析 要證，即證，令，，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，故當時，不等式恒成立.

3 指數類型函數的構造

若將函數及函數中替換為，則可得及具有類似的單調性及最值.

證明：對一切，都有成立.

解析 要證，即證，令，，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，則有成立.

參考文獻：

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