概率統計與數學期望

汪元忠

【摘 要】隨著人類社會的進步，科學技術的發展，經濟全球化的日益進程，數學在生活中的應用越來越廣，生活中的數學無處不在.而數學中的一個非常重要的分支——概率統計，在眾多領域內扮演著越來越重要的角色，取得越來越廣泛的應用。正如英國邏輯學家和經濟學家杰文斯所說：概率論是“生活真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為”。

【關鍵詞】概率統計 數學期望

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）36-0117-01

數學期望在解數學題和實際生活中的一些應用，通過圍繞數學期望在證明一些數學不等式、分析彩票中獎概率、醫學普查及投資等實際問題中的應用，進一步揭示概率統計中數學期望與數學本身及實際生活的密切聯系，為應用概率知識解決實際問題，數學模型的建立，學科知識的遷移奠定一定的理論基礎。概率統計的分支學科—數學期望的應用尤為廣泛，隨著科學技術的發展與計算機的普及，它已廣泛地應用于各行各業，成為研究自然科學，社會現象，處理工程和公共事業的有力工具，下面淺談數學期望在實際生活中的一些應用：

數學期望在商品出售獲利方面的應用：按節氣出售的某種節令商品，每售出1斤可獲利a元，過了節氣處理剩余的這種商品，每售出1斤凈虧損b元。設商店在季度內這種商品的銷量是一隨機變量，在區間內服從均勻分布。為使商店所獲利潤的數學期望最大，問該商店應進多少貨？

分析如下：設t表示進貨數，進貨t所獲利潤記為Y，則Y是隨機變量，

令=0，得駐點t=由此可知，該店應進公斤商品，才能使利潤的數學期望最大。

數學期望在醫學普查中的應用： 某地區的群眾患有肝炎的概率為0.004左右，假若要對該地區5000人經行肝炎感染的普查，問用分組檢驗方法是否比逐個檢查減少了次數？

分析如下：設將這5000人分成5000/K組，每組k人，每人所需檢驗的次數為隨機變量，則的概率分布為：

每人平均所需檢驗次數的期望為：

當K=2，3，4……時，EX，即每人平均所需次數小于1。這比逐次檢查的次數要少。并且由數學分析中的知識可知當K取16時，最小。即將5000人大致分為每組16人檢驗時，檢驗所需次數最少。

數學期望在商家舉行的免費抽獎中的應用：袋中有大小相同的球20個、10個10分、10個5分，從中摸出10個球，摸出的10個球分數之和即為中獎分數，獲獎如下；

一等獎 100分，家電一件，價值2500元； 二等獎 50分， 家電一件，價值1000元；

三等獎 95分， 洗發精8瓶，價值176元； 四等獎 55分， 洗發精4瓶，價值88元；

五等獎 60分， 洗發精2瓶，價值44元； 六等獎 65分， 牙膏一盒，價值8元；

七等獎 70分， 洗衣粉一袋，價值5元； 八等獎 85分， 香皂一塊，價值3元；

九等獎 90分， 毛巾一條，價值2元；十等獎 75分與85分為優惠獎，僅收成本22元，將得到洗發精一瓶 。

分析如下：表面上看整個活動對顧客有利，一等獎到九等獎是白得的，只有十等獎收費，也僅收成本費。事實上，用概率知識分析一下：摸出10個球的分值只有11種情況，用X表示摸獎者獲得的獎勵金額數，一等獎即得分100分，對應事件P（X=2500）=，X取值2500，1000，176，88，44，8，5，3，2，-22，概率可依次得出，其概率分布為：

E（X）==-10.098，表明商家在平均每一次抽獎中獲得10.098元錢，而平均每個抽獎者將花10.098元錢來享受這種免費抽獎，卻沒機會獲得大獎。

數學期望在彩票雙色球中的應用：“雙色球”是一種聯合發行銷售的“樂透型”福利彩票。它采用計算機網絡發行銷售，定期電視開獎。“雙色球”由中國福利彩票發行管理中心統一組織發行，在全國銷售。這種彩票搖獎球分為紅色、藍色兩種，故命名為“雙色球”。

一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）（紅色球號碼順序不限）；

二等獎：6個紅色球號碼相符； 三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

四等獎：5個紅色球號碼或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

五等獎：4個紅色球號碼或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

六等獎：1個藍色球號碼相符（有無紅色球號碼相符均可）。

下面是各等獎的中獎概率的計算，雙色球中頭獎的概率：×16=（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）×16=17721088雙色球中頭獎的概率為p（1）=1/17721088

雙色球二等獎的概率為：p（2）=1/=1/（（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）=1/1107568

雙色球三等獎的概率為：p（3）=1/ （×16）=1/（（33×32×31×30×29）×16/（5×4×3×2×1））=1/3797376 ......

總之，知識來源于人類的實踐活動，又反過來運用到改造世界的實踐活動中，其價值也就在于此。上面知識例舉了概率在實際問題中應用的幾個小片段，然而，作為一門獨立的學科，數學期望的足跡可以說已經深入到每一個領域，在實際問題中的應用隨處可見。只要我們善于把握，善于挖掘，善于用數學期望知識來解決問題，就能使它在實際生活中發揮更多作用。本文通過探討數學期望這一隨機變量的一些重要數學特征在數學問題及實際問題中的一些應用來使大家對數學期望有更深的了解。