概率論在生活中的應用

吳欣洲

摘 要：本文在以事件發生的不確定性為引子，介紹了日常生活中遇到的概率問題，用數學中的概率論的相關知識驗證了“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”這種說法是基本成立的。同時，針對保險，采用伯努利試驗理論和二項分布相關知識，驗證了“保險公司盈利”是必然的，以及保險公司獲得某一利潤的概率。最后，把數學期望和方差運用于“投資理財決策”，對幾種投資的收益和風險進行了分析。

關鍵詞：概率 伯努利試驗 二項分布 中心極限定理

中圖分類號：O211.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）08（a）-0249-02

數學是一門基礎理論，有著嚴密的理論體系。概率論作為數學理論體系的一個重要組成部分，與人們的生產有著千絲萬縷的聯系[1]。

根據現象是否發生，可以把現象分成兩大類：一類是確定性現象，如“早晨，太陽必然從東方升起”；一類是不確定現象，即隨機現象，如“明天是否降雨”。這些現象可能出現也可能不出現，它們出現的概率或大或小。下面，針對這種具有不確定性的現象，本文將對生活中的幾個具體例子進行分析和討論。

1 三個臭皮匠，頂個諸葛亮

我們常說“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”。我們多用這句話來表達人多力量大、眾志成城的意思。這句話到底有沒有道理，對不對呢？我們用概率論來論證一下。

假設以諸葛亮的智商，解出問題的概率為0.8。臭皮匠的智商低，臭皮匠A解出問題的概率為0.5，臭皮匠B解出問題的概率為0.48，臭皮匠C解出問題的概率為0.45。那么，三個臭皮匠解出問題的概率為有多大呢？我們可以這樣來分析：如果一件事情出現的概率為P，則該事件不出現的概率必定為1-P，這樣三個臭皮匠都解不出問題的概率為[1-P（A）]×[1-P（B）]×[1-PC）]，把全部可能1，減去三個臭皮匠都不能解出問題的概率，即為三個臭皮匠至少一個人解出問題的概率為：

P（A+B+C）=1-[1-P（A）]×[1-P（B）]×[1-PC）]=1-0.5×0.52

×0.55=0.857>0.8

這三個才能平庸的臭皮匠中至少有一個人解出問題的概率超過了0.8。三個臭皮匠解決問題的能力超過了神機妙算的諸葛亮。

通過以上我們的論證，論題“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”基本成立。為什么是基本成立呢？假如諸葛亮的智商是遠遠大于臭皮匠，或者有些問題太難了，諸葛亮還可能解決，而臭皮匠解決的可能性比較小，那結果可能就不一樣了。例如諸葛亮解出問題的概率為0.7，三個臭皮匠解出問題的概率都只有0.3，我們再次按照上面的公式進行解答，三個臭皮匠中至少一個人解出問題的概率為：

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（A

BC）=0.639<0.7

三個臭皮匠的能力就有點捉襟見肘啦。要想靠臭皮匠來解決問題，那么只有增加人數，才能超過諸葛亮。

2 保險盈利分析

生活中，我們經常會考慮買保險的事情[2]。假如有2500個人購買了壽險，年死亡概率為0.001，每人每年的保險費為12元，身故保險金為2000元/人，那么，保險公司在一年里獲利不少于10000元的概率有多大呢？會不會虧本呢？

可以設一年中死亡的人數為X，把2500人在一年里是否死亡看成2500重伯努利試驗。ξ表示死亡發生的人數，對于每一個人，如果死亡概率為p=0.001，則不死亡的概率 q=1-0.001=0.999，ξ就服從參數p的二項分布，其中p稱為成功概率。

二項分布的數學期望：E=np=2500×0.001=2.5。

二項分布的方差：D=np（1-p）=2500×0.001×0.999=2.4975。

（1）保險公司在一年里獲利不少于10000元的概率。

按照以上假設，保險公司年保費收入為2500×12=30000元，賠付為2000X，則根據中心極限定理得。

P（30000-2000X≥100000）=P（0≤X≤2）

（2）保險公司虧本的概率。

P（30000<2000X）=P（X≥15）

保險公司虧本的概率接近于零，這就是保險公司必然盈利的原因。而對于我們投保人來說，每年繳納12元的保費就可獲得一份2000元的保障，也可以接受，這也是一種雙贏。

3 投資決策

投資往往存在很多不確定的隨機因素，只有正確的、科學的決策才能達到以最低的成本和風險同時獲得最大的收益[3]。在這方面，概率論雖不能直接提供決策建議，但是他能提供一些信息，最終幫助我們做出正確的決策。

假如有三個項目可供選擇進行投資，其收益受市場的影響，有一定的不確定性，若把市場發展分為優、中、差三種情況，發生概率分別為0.3、0.6和0.1，根據市場調研，不同情況下各種投資的收益率見表1。

那么如何投資更為合理呢？

首先，我們用數學期望的對各項目的投資預期收益進行計算：

E1=12%×0.3+3%×0.6+（-3%）×0.1=5.1%

E2=7%×0.3+4%×0.6+（-1%）×0.1=4.7%

E3=9%×0.3+3%×0.6+（-2）×0.1=4.4%

從以上數據可知，投資項目1我們可能獲得的收益最大，項目2次之。但是，高回報一般伴隨著高風險，我們用方差來評估各投資項目的風險：（為了計算方便，省略了百分號）

D（A）=（12-5.1）2×0.3+（3-5.1）2×0.6+（-3-5.1）2×0.1=23.49

D（B）=（6-4.7）2×0.3+（4-4.7）2×0.6+（-1-4.7）2×0.1=3.49

D（C）=（9-4.4）2×0.3+（3-4.4）2×0.6+（-2-4.4）2×0.1=11.62

方差越大，說明收益的波動范圍越大，風險也越大，所以從方差來看，投資項目1的風險是投資項目2的風險的6倍左右，將收益與風險綜合考慮，最好選擇項目2進行投資，雖然收益較項目1少0.4%，但是風險卻小了很多。

4 結語

有一位哲學家曾經說過：“概率的學習是人生的真正指南”。身邊處處可以發現概率論的身影，它已經滲透到我們生活中的點點滴滴。它可以幫助我們分析生活中所面臨的問題，指導我們透過事物的表面現象看到其內在的本質，從而能夠找到解決問題的關鍵點，輕松地解決問題。

參考文獻

[1] 劉云，王陽.巧用概率模型解決代數問題[J].和田師范專科學校學報，2008（2）：215-216.

[2] 趙靜，毛捷，張磊.社會保險繳費率、參保概率與繳費水平——對職工和企業逃避費行為的經驗研究[J].經濟學，2016，15（1）：341-372.

[3] 王愛玲.概率統計數學模型在投資決策中的應用[J].科技信息，2012（9）：153-154.