函數形式的單調有界原理的證明

劉曉蘭

【摘要】引入實數的連續歸納法，用它證明函數極限的單調有界原理，進而數列極限可以作為函數極限的特殊情形討論。

【關鍵詞】函數 極限 單調有界原理 數學歸納法

【中圖分類號】O171 【文獻標識碼】C 【文章編號】2095-3089（2018）49-0122-01

在微積分教材中，在介紹極限時，不管是在非數學專業的高等數學教材中還是數學專業的數學分析教材中，都是先介紹數列的極限，然后再介紹函數極限，本文引入張景中院士提出的關于實數理論的“連續歸納法”，證明函數極限的單調有界原理，這樣數列形式的單調有界原理就可以作為其特例理解，從而教材可以把函數極限和數列極限調整順序。

1.關于正整數的數學歸納法原理

第二數學歸納法：設有一個與自然數n有關的命題P（n），如果：

（1）當n=1時，命題P（1）成立；

（2）假設對任意自然數1≤n

2.關于實數的連續歸納法原理

定理1 設P（t）是涉及實數t的一個命題，滿足：

（1）存在區間[t0，t1），使P（t）在此區間上成立；

（2）對任意區間[t0，s），P（t）在此區間上成立，可推出存在t2>s，P（t）在區間[t0，t2）上成立；P（t）則在[t0，+∞）上成立。

3.函數極限的單調有界定理

定理2（函數極限的單調有界定理）

設函數f（x）在[a，+∞）上單調有界，則極限 f（x）存在。

證明：不妨設f（x）是單調遞減的，若 f（x）存在，由f（x）的遞減性，可得？坌x∈[a，+∞），必有f（x）≥ f（x）， 即 f（x）是f（x）的下界。

下面，用反證法證明定理結論，若 f（x）不存在，則f（x）的任何下界都不是f（x）的極限。

設P（t）表示命題：t是f（x）的下界。

由定理條件f（x）有下界，設t0是f（x）的下界，即P（t0）成立，由反證假設 f（x）≠t0，則？堝ε0>0，？坌n，？堝xn>n，使得f（xn）≥t0+ε0。

由f（x）的單調性及？坌x∈[a，+∞），？堝xn>x，有f（x）≥f（xn）≥t0+ε0成立，從而P（t）在[t0，t0+ε0）成立，即歸納基礎成立。

假設對任意t0≤t0，？坌n，？堝xn>n使得f（xn）≥s+ε0。

由f（x）的單調性，及？坌x∈[a，+∞），？堝xn>x，有f（x）≥f（xn）≥s+ε0。

即s+ε0是f（x）的下界，從而P（t）在[t0，s+ε0）成立，也即歸納假設成立。

由連續歸納法，P（t）在[t0，+∞）上成立，即[t0，+∞）上的任何數都是下界，矛盾！

故 f（x）存在。

類似可證下列結論：

定理3 設f（x）為定義在U+°（x0）上的單調有界函數， 則右極限 f（x）存在。

（類似可得關于 f（x）， f（x）， f（x）的單調有界定理）

數列可以看作是一類特殊的函數xn=f（n），若數列是單調有界的，則由函數極限的單調有界定理得數列的單調有界定理.

定理 4（單調有界定理）單調有界數列必有極限。

現在的很多教材比如[4]，先講特殊的數列極限，再講一般的函數極限，而在介紹了用實數的連續歸納法證明函數形式的單調有界原理后，就可以先介紹范圍更廣泛的函數極限，數列極限就作為它的特殊情況介紹。

參考文獻：

[1]張景中，曹培生.從數學教育到教育數學（最新版） [M].北京： 中國少年兒童出版社.

[2]張景中.數學與哲學[M].長沙： 湖南教育出版社，1990.

[3]復旦大學數學系.數學分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社.

[4]華東師范大學數學系.數學分析上冊（第四版）[M].高等教育出版社.

[5]徐永春，關金玉等，用連續歸納法證明實數系中的定理[J].數學的實踐與認識.2007（37）144—146.