對數學概念教學的一點想法

摘 要：概念是對事物本質屬性的認識，是思維的最小單位。本文從具體課例出發談談對數學概念教學的一點想法。

關鍵詞：概念教學數學；考試

每次考完試以后，常常會有學生由于沒有準確掌握好數學概念，思路不清晰，導致解題錯誤，我覺得主要有兩方面的問題：一是教師教學方面，在上概念課時，有些教師常把重點放在例題講解和練習題的處理上，讓學生記住，變成關注的是讓學生怎么運用數學概念來解題；二是學生學習方面，覺得概念的學習單調，不夠有趣，又以為考試肯定不會直接考概念，導致對概念學習不重視，這樣對基本概念的認識就很模糊，沒有透徹理解，只有零碎的一些認識，只能靠機械的記憶。下面以“橢圓及其標準方程”第一課時為例，從教師方面談談數學概念教學的一點想法。

完成本課時的教學我主要是通過以下6個環節來完成：

1. 課前布置。

（1）讓學生觀察生雞蛋的外形，油罐車的尾部形狀，斜射光線下圓（或球）的投影圖形。

（2）讓學生準備好一張紙板，一根繩子和筆。

[設計意圖]為本節課的完成提供較充裕的時間。

2. 觀察課前布置的第一項結果和利用多媒體演示用一個平面去截圓錐所得到的截口曲線。

[設計意圖]讓學生發現和感受橢圓的存在。

3. 操作和發現橢圓的定義。上課時，我先拿出事先準備的繩子，再讓兩個學生到黑板前分別按住繩子的兩端，我再套上粉筆，拉緊繩子，移動粉筆（動點），讓學生觀察畫出的軌跡是什么曲線？（學生很容易就觀察出是個橢圓），接著再讓學生拿出課前布置的第二項材料自己畫圖（同桌間互相配合），在繩子長2a不變的條件下，通過以下問題，自然而然地引出橢圓的定義：

（1）當繩子的兩端合在一起時，畫出的軌跡是什么曲線？

（這時筆尖只能在繩子的中點，畫出的軌跡是圓）

（2）當繩子的兩端分開一點，畫出的軌跡是什么曲線？

（這時筆尖能在繩子上移動，畫出的軌跡是橢圓）

（3）當繩子兩端距離變大時，畫出的軌跡（橢圓）有何變化？

（隨著繩子兩端距離2c越來越大，畫出的橢圓越來越扁平）

（4）當繩子兩端的距離2c剛好等于繩子長2a時，畫出的軌跡又是什么？（是一條線段）

（5）固定兩端，當繩子長小于這兩端之間的距離時，能畫出軌跡嗎？

（畫不出，軌跡不存在）

（6）在畫圖的這一過程中，你能說出移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件嗎？

（經過這樣的實踐操作，學生就自然而然地可以自己歸納出橢圓的定義，進一步地還可以引導學生得到以下結論：當c=0時畫出的軌跡是圓；當2a>2c時畫出的軌跡是橢圓；當c→a時畫出的橢圓越來越扁平；當2a=2c時畫出的軌跡是一條線段；當2a<2c時，畫不出軌跡，即軌跡不存在）

[設計意圖] 通過以上問題的創設，實驗的操作以及問題的解答，讓學生經歷橢圓概念的形成過程，并感受到概念的引入是自然的，這樣學生對概念的認識和理解就會比較清晰、深刻和全面。

4. 尋求和推導橢圓的標準方程。我是按如下步驟進行的：

（1）問題1：求曲線方程的步驟是什么？

（2）問題2：如何建立坐標系？（受數學美的驅使，使建立的坐標系、所設的點的坐標都對稱和諧，于是建立的坐標系是以兩焦點所在直線為x軸，兩焦點連線段的中點為原點）。

（3）在推導中首先得到的（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，事實上這個方程就是橢圓的方程，但它不夠簡潔，因此需要化簡。注意到式子的左邊是兩個根式之和，如果直接平方，會導致方程更為繁雜，于是移項平方，整理后得到a2-cx=a

（x-c）2+y2，此時還有一個根號，于是再平方，進一步化簡得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.此時式子雖較前簡單，但注意觀察發現兩邊都有一項a2-c2，如果將其替換，方程就可以更加簡潔，對稱。于是設a2-c2=b2（b>0）得到x2a2+y2b2=1，這也達到數學的簡潔美。

（4）從曲線與方程的關系說明方程是橢圓的方程，從而把它叫做橢圓的標準方程。

（5）問題3：觀察圖1，你能從中找出表示a，b的線段嗎？（明確a，b的幾何意義便于記住方程）

圖1

圖2

（6）問題4：如圖2，如果建立的坐標系是以兩焦點所在直線為y軸，兩焦點連線段的中點為原點（仍符合數學的“對稱美”和“和諧美”），得到的橢圓的方程是什么？

通過以上步驟得到橢圓的兩個標準方程，進而再引導學生明確以下兩點：（1）橢圓的兩個標準方程中，都有a>b>0且a，b，c始終滿足a2-c2=b2；（2）兩方程的焦點坐標不同。

[設計意圖]通過邊提問邊講解，使學生明確每一步運算的意義、作用和所以要這樣做的原因，引導學生進行思考和推理訓練，從而領悟數學的本質。

5. 橢圓定義和標準方程的應用。講解課本中的例1：已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），并且經過點52，-32，求它的標準方程。

[設計意圖]及時檢驗學生利用定義和標準方程解題的情況。

6. 小結歸納，鞏固提高

讓學生回顧一下本節課學習的內容，又是如何進行學習的？引導學生可以從以下兩個方面進行小結：一、本節課你學習了哪些知識？ 二、遇到問題應如何思考，如何解決？

[設計意圖]這樣有利于培養學生形成及時總結的習慣，將所學知識融會貫通。

我們數學教師在上概念課時，更多的是要引導學生關注數學概念的形成過程，引導學生對新知識、新問題進行觀察分析、實踐操作、合理推理，引導學生自主建構知識，自覺地獲取概念的本質。這樣學生在上課時就會從被動的聽變成主動的學，這樣也才能充分體現以學生為本， 尊重學生主體地位的教學理念。

作者簡介：羅陽梅，福建省晉江一中。endprint