數(shù)學模型在經(jīng)濟類專業(yè)中的應用案例研究

摘 要：在經(jīng)濟管理類專業(yè)課程中，許多問題需要借助數(shù)學模型來求解，可以根據(jù)對研究對象的了解程度和建模目的來決定采用什么數(shù)學方法。數(shù)學和數(shù)學模型在經(jīng)濟研究中的作用越來越重要，文章通過案例分析說明了數(shù)學模型在經(jīng)濟類專業(yè)中的應用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學模型；應用案例；經(jīng)濟類專業(yè)

一、 引言

上世紀中葉以來，科技迅速發(fā)展、社會不斷進步，數(shù)學向自然科學和社會科學的各個領(lǐng)域迅速滲透，并在工程技術(shù)、經(jīng)濟建設(shè)及金融管理等方面作用越來越大，甚至可以說是舉足輕重?！案呒夹g(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學技術(shù)”的提法，已被越來越多的人所認識和接受。要充分發(fā)揮數(shù)學的作用，首先要懂得如何將所要考察的現(xiàn)實世界中的問題歸結(jié)為一個相應的數(shù)學問題，即數(shù)學模型，然后才有可能利用數(shù)學的工具，去尋找解決原有的實際問題的途徑，而整個過程就是通常所說的數(shù)學建模的過程。在經(jīng)濟管理工作中，我們所面臨的問題是紛繁復雜的，如果需要借助數(shù)學模型來求解，不可能孤立地使用同一種方法。我們可以根據(jù)對研究對象的了解程度和建模目的來決定采用什么數(shù)學工具。

二、 案例分析

經(jīng)濟學是這樣一門科學，它研究社會對資源的分配，以滿足人類發(fā)展需求，或者說是這樣一門科學，它研究人們之間理性行為的競爭。數(shù)學關(guān)系在背后起著重要作用，甚至可以說是支配作用。經(jīng)濟學研究中持續(xù)了幾十年的定量化趨勢仍然在繼續(xù)，數(shù)學和數(shù)學模型在經(jīng)濟和經(jīng)濟研究中的作用越來越重要。至于在計量經(jīng)濟學、數(shù)理經(jīng)濟學和信息經(jīng)濟學等經(jīng)濟學的新分支學科中，數(shù)學模型和數(shù)學方法更是貫徹始終，起著完全支配的作用。下面舉例說明。

（一） 經(jīng)濟增長的索洛模型

經(jīng)濟增長的主要指標是總的產(chǎn)出，建立總產(chǎn)出增長的定量模型無疑是十分重要的。如果要建立一個兼顧所有這些因素的數(shù)學模型無疑是十分復雜困難的。1987年的諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者，美國經(jīng)濟學家索洛將問題進行簡化，建立了經(jīng)濟增長與產(chǎn)出、資本投入、勞動力投入的函數(shù)關(guān)系，揭示了經(jīng)濟增長的若干本質(zhì)。

考慮一個經(jīng)濟體系，它作為全球經(jīng)濟的一部分，不受阻擋地利用外來技術(shù)，不考慮消費選擇，假設(shè)總消費占總產(chǎn)出是一個固定的比例。不考慮失業(yè)，

令Y（t）表示t時刻的總產(chǎn)出、K（t）表示t時刻的資本存量，L（t）表示t時刻的勞動力。于是，可以建立總產(chǎn)出和資本、勞動力之間的函數(shù)關(guān)系：

Y=F（K，L）.

因為消費比率固定，資本存量增長率與總產(chǎn)出成正比，于是

dKdt=sY.

其中s為正常數(shù)，稱為儲蓄率。

此外，假設(shè)初始勞動力為L0，勞動力的增長率為r，于是成立

dLdt=rL.

于是索洛經(jīng)濟模型可以表述為

dKdt=sF（K，L），K（0）=K0dLdt=rL，L（0）=L0

通常生產(chǎn)函數(shù)F是一次齊次函數(shù)，例如，取為柯布-道格拉斯函數(shù)，有

F（K，L）=AKa L1-a （0

從模型的第二式中容易求出

L（t）=L0ert，

由于生產(chǎn)函數(shù)是一次齊次函數(shù)，成立

F（K，L）=LFKL，1，

從而K（t）的微分方程可以改寫為

dKdt=sLFKL，1

令k（t）=K（t）L（t），有

dkdt=1L2LdKdt-KdLdt=1LdKdt-KL2dLdt，

由此可得k（t）滿足的微分方程

dkdt=sF（k，1）-rk.

這是一個伯努利方程，通過變換求解最后可得

K（t）=AsrL（1-a）0（e（1-a）rt-1）+K（1-a）011-a.

（二） 利益分配的合作博弈模型

在經(jīng)濟活動中，若干實體相互合作很多時候比各自單獨完成任務更加劃算，達到共贏的局面?？茖W分配收益或分擔成本成為能否成功合作的關(guān)鍵問題。那么，應該怎樣科學分配收益或者分擔成本呢？這種分配問題叫做合作博弈。沙普利給出了這種分配問題一種可行方案。

設(shè)I={1，2，…，n}為合作博弈的各方。組合S的效益記為v（S）。第i位成員的分配記為Pi 。P=（p1（v），p2（v），…，pn（v））T 稱為沙普利值，

它由效益函數(shù)v（S）確定。它的計算公式為

其中Si是I中包含i的所有子集，|S|是自己S中的元素個數(shù)（組合S中的參加者數(shù)量），w（|S|）是加權(quán)因子

v（S）是方案S的獲利，v（S＼i）表示在這種合作方式中第i方退出以后的獲利。因此，v（S）-v（S＼i）可以看成在這種合作方案中第i方的“貢獻”。根據(jù)前面的假設(shè)，任何一方在任何合作方案中的貢獻都是非負的。Pi（v）表示第i方“貢獻”的加權(quán)總和。下面舉例說明。

河的同一邊有三個城鎮(zhèn)，1在上游，2與1的距離為20 km，3與2的距離為38 km。城鎮(zhèn)排放的污水需經(jīng)過處理才能排入河中。三個城鎮(zhèn)的污水處理可以單獨建廠，也可以合作建廠。已知建廠的費用為f1=73w0.712（單位：千元），鋪設(shè)管道費用為f2=0.66w0.51c（單位：千元），其中w是污水量（單位：噸/秒），c是管道的長度（單位：千米）。如果三城鎮(zhèn)的污水量分別為w1=5，w2=3，w3=6，試制定一個合理的建廠方案。

于是可以計算出存在的五種建廠方案的總費用：1.三城鎮(zhèn)分別建廠。建造費用分別為

F（1）=73×50.712=230（千元），F(xiàn)（2）=73×30.712=160（千元），F(xiàn)（3）=73×60.712=261（千元），總費用為651千元。2.城1、2合作，在城2處建廠，城3單獨建。建造費用為F（1，2）=73×（5+3）0.712+0.66×50.51×20=351（千元），總費用為612千元。同理可得，3.城2、3合作，在城3處建廠，城1單獨建。建造總費用為623千元。4.城1、3合作，在城3 處建廠，城2單獨建。建造總費用為650千元。5.三方合作，在城3處建廠?？傎M用為580千元。第5種方案是費用最少的，接下來關(guān)鍵問題是怎樣分擔這筆費用。

如果不采用沙普利的方法，人們首先想到的是根據(jù)污水排放量平均分擔費用的辦法。于是，城1應該分擔V（1）=55+3+6×580=207（千元），同理，城2應分擔V（2）=124（千元），城3應分擔V（3）=249（千元）。但是，按這種方案，城1、2、3分別可以節(jié)省23千元、36千元、12千元，看起來不太合理。

再給出一種方案：建廠費用按排污量分擔，2、3段管道費用由1、2兩城負責，1、2段管道費用則城1單獨負責。看起來公平合理，算下來發(fā)現(xiàn)，城3費用為V（3）=55+3+6×73×（5+3+6）0.712=205（千元），而城2和城1的費用則分別達到138千元和237千元，城1承擔的費用大于單獨建廠費用，這就明顯不合理了。

把節(jié)省的投資額當成收益，用沙普利的方法，計算各方省下的資金額?；蛘咧苯右越ㄔ熨M用當作效益函數(shù)來計算沙普利值，從而算出各方應該負擔的費用。可得p1=209（千元），p2=125（千元），p3=245（千元）。按此比例分擔總費用，每秒噸的費用為城1為41.8千元、城2為41.67千元、城3為40.83千元。各城節(jié)省的費用差距較小，所以這種分攤結(jié)果更合理。

三、 結(jié)語

數(shù)學模型在經(jīng)濟理論研究和實踐中發(fā)揮著重大的作用，但是我們也必須認識到它的局限性，它只是一種分析工具，不能用數(shù)學模型來代替經(jīng)濟學，只能在合理范圍內(nèi)應用數(shù)學模型解決問題，發(fā)揮它的作用。因此，我們必須對數(shù)學模型有一個客觀正確的認識，以便利用數(shù)學模型更加有效地為經(jīng)濟研究服務。

參考文獻：

[1] 譚永基.經(jīng)濟管理數(shù)學模型案例教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 吳瓊揚.淺談數(shù)學模型在經(jīng)濟研究中的應用[J].中國集體經(jīng)濟，2009，11.

作者簡介：劉浪，江西省九江市江西財經(jīng)職業(yè)學院基礎(chǔ)部。