課題教學案例分析

摘 要：鑒于現在初中學生難于合理運用乘法公式對一些較復雜的求值題進行求解，我用平方差公式、完全平方公式及非負數的性質輕松解決了幾道典型例題，學生在做的過程中感受并獲取了解題思路，學習效果非常好，積極性也大大的提高了，充分反映我們在平時需要整合積累相關知識并學會綜合運用。

關鍵詞：平方差公式；完全平方公式；配方；非負數性質；最值

1. 教學目標：利用完全平方公式，及非負數的性質，求一些代數式值的問題、最值問題及恒等式證明問題。

2. 教學重點：熟練掌握完全平方公式的結構，構造完全平方式解決相關問題。

3. 教學難點：根據已給式子的結構配成完全平方式。

4. 教學過程（案例內容）

一、 復習引入

1. 復習提問完全平方公式及a2±2ab+b2=（a±b） 2

公式結構分析：左邊三項各項都是二次式，右邊是二項式的平方，

在左邊中ab項的符號與右邊第二項符號相同。

2. 填空①a2+4a+ =（a+2）2， ②9x2+1+ =（3x+1）2

二、 新課講解

1. 用配方及非負數的性質求值問題

例1 已知x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y的值。

考點：配方法、非負數、求代數式值。

分析：本題是通過配完全平方及非負數的性質求代數式值的問題，常用的非負數有：①實數的絕對值；②偶次冪；③算術平方根。

解：∵x2+y2+4x-2y+5=0

∴（x+2）2+（y-1）2=0

又∵（x+2）2≥0，（y-1）2≥0

∴x+2=0，y-1=0

∴x=-2，y=1

∴x+y=-2+1=-1

變式練習

（1）已知x2+y2-6x-2y+10=0，求1x+1y的值。

（2）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求x+y+z的值。

例2 若（a+3b+4）2=14（a2+b2+4），求a+b的值。

考點：配方法、非負數、代數式。

分析：（1）配方時注意構造兩個平方項和一個乘積項，平方項如果拆開要拆成幾個平方數；

（2）利用非負數的性質求得a、b的值；

（3）求出代數式a+b的值。

解：∵（a+3b+4）2=14（a2+b2+4）

∴13a2+5b2-6ab-8a-24b+40=0

∴（2a-2）2+（2b-6）2+（3a-b）2=0

∴a=1，b=3

∴a+b=1+3=4

2. 最值問題

例3 （1）當x= 時，代數式x2+4取得最 值，是 。

（2）當x= 時，代數式-（x-3）2+4取得最 值，是 。

（3）當x= 時，代數式x2-4x-3取得最 值，是 。

（4）當x= 時，代數式-2x2-4x-3取得最 值，是 。

考點：配方，二次項系數為正，代數式有最小值；二次項系數為負，代數式有最大值。

分析：這些代數式都是關于x的二次式，同學們想想有最大值還是最小值是受什么影響？當二項式系數為正時有最小值，當二次項系數為負時有最大值。雖然我們以后學習二次函數的時候將對開口方向、對稱軸、最值等進行更系統的學習，但它配方的依據就是我們所學的完全平方公式。

3. 用配方證明恒等式問題

例4 如果3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，求證：a=b=c。

考點：完全平方公式、配方、非負數性質。

分析：證明的關鍵是把從條件到結論的推導過程呈現出來，首先直接展開化解，然后根據式子結構配成完全平方公式，第三步借助非負數的性質得到相等的結論。

證明：∵3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2

∴3a2+3b2+3c2=（a+b）2+2（a+b）·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0

∴a=b=c

例5 已知a4+b4+c4+d4=4abcd且a，b，c，d∈N。求證：a=b=c=d。

考點：配方（式子形式復雜），非負數性質。

分析：先將已知等式變式使其構成完全平方式，再利用非負數性質和條件即可得到證明。

證明：∵a4+b4+c4+d4-4abcd=0

∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0

∴（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0

∴a2=b2，c2=d2，ab=cd

∵a，b，c，d∈N

∴a=b，c=d，b=c

∴a=b=c=d

三、 課后練習

1. 若a2b2-4ab+a2-2a+5=0，則a= ，b= 。

2. 若∣a-1∣2+（ab-2）2=0，則2017a-12b= 。

3. 若a+10=b+9=c+8，則2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac= 。

4. 已知|ab-2|+（a-2）2=0，求1ab+1（a+1）（b+1）+1（a+2）（b+2）+…+1（a+2010）（b+2010）的值。

5. 試說明不論a，b為什么數，a2+b2-2a-4b+6的值總是正數。

四、 小結

本節課我們主要學習了乘法公式的三個方面的應用。

（1） 利用配方和非負數的性質求代數式的值的問題。重點掌握利用完全平方式的結構配出平方。

（2） 用配方法求代數式的最值問題。

（3） 借助完全平方公式來證明整式中的恒等式問題。

五、 案例分析與反思教學設想

本節課是在學習了平方差公式和完全平方公式的基礎上，研究其在代數式求值、求最值及證明問題上的應用，想通過經歷完全平方式的配方過程來培養學生研究問題和探索規律的能力，并使其達到舉一反三的學習效果。本節課的學習重點是利用完全平方公式的結構進行配方來解決問題。

本節課由復習練習題入手，設置疑問，讓學生在復習中回顧平方差公式和完全平方公式的應用。通過例1和例2兩個求代數式的值的題目，讓學生掌握配方的基本特點、基本技巧和步驟。通過例3的學習讓學生知道關于二次三項式的最值問題是可以通過配方來解決的。最后兩個證明題既能讓學生了解證明的思路與步驟，也能在思維上要求學生靈活運用公式進行變形與轉化。

教后反思

在課堂上學生還是很積極活躍的，但在后繼學習中暴露出的一些問題還是值得我去反思和改進的。

1. 學生對知識的自主建構與交流探究還有待提高，這節課主要還是以老師的教授為主，讓學生自主思考和構建知識體系方面時間偏少，還需加強。

2. 學生雖能很好地掌握本節課學習的解題方法，但那只是在這個特定的題型里。一旦把這類問題與其他問題目混合在一題時，我們的同學就不知道用這節課所學的方法來解決問題了，這說明學生對用配方法解決綜合問題的能力還不夠，還需加強練習。

3. 為提高課堂教學的有效性，我還需提高學生的參與度，讓學生成為課堂的主人，教師扮演活動的參與者、合作者。讓學生從認識事物的特征和規律出發，逐步設置問題，分析問題和解決問題。

作者簡介：

李丹，江蘇省南京市浦口區第三中學。endprint