Geogebra在“立體幾何”教學中的融合應用

張天云

摘要：本文在介紹Geogebra軟件的基礎上，展示了立體幾何教學中利用Geogebra對多面體進行構造、多角度視圖以及動態展開的過程，并通過對動點軌跡問題的解決進一步闡明了Geogebra與立體幾何的融合應用對教學的重要性。

關鍵詞：Geogebra；動點軌跡

中圖分類號：G40-057 文獻標識碼：A 論文編號：1674-2117（2018）02-0065-03

我國著名數學家華羅庚曾說過，“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”[1]所以數與形有著十分密切的聯系。立體幾何從點、線、面等一維圖形逐漸過渡到平面、向量等二維圖形，最后深入到圓錐、圓柱等三維圖形，它對學生空間構造能力的要求將數形結合推向了極致。Geogebra是一款集幾何、代數、微積分和統計功能為一體的動態數學軟件[2]，能為學習者模擬構建“數學實驗室”，讓他們體會看得見的數學，引導他們探究發現，加深對抽象知識點的理解，從而提高獨立思考能力以及學習自主性。

立體圖形的構造

Geogebra6.0版本新增了3D繪圖區。在“視圖”菜單下選中“3D繪圖區”，軟件上方工具欄則呈現立體圖形的構建工具，學生可以在“3D繪圖區”創建幾何圖形，在“代數區”顯示其代數表達式，在“繪圖區”顯示其頂視圖。下面以構建正四面體為例加以說明。

1.打開Geogebra6.0選擇工具欄中的“正四面體”工具（如圖1）。

2.在三維坐標軸上選定原點（0，0，0）和點（0，5，0），即可完成正四面體a的構建，同時代數區也會出現相應的點、線、面的相關信息。代數區可以通過點選“fx”工具確定圖形信息，并以“定義”“數值”“定義與數值”“描述”等方式進行顯示，為教學過程的解釋提供了多種表達形式。使用指令也可以完成同樣操作，即在指令欄中輸入正四面體[（0，0，0），（0，5，0）]，按回車鍵即可，需要注意的是，指令的輸入必須是英文狀態下的符號。

3.在代數區中右擊正四面體的各面，如faceABD，可以在彈出的菜單“設置”項中對該面的常規、顏色、樣式及動態顏色等進行設置，以便學生區分與觀察，用上述方法還可以構建正六面體、棱錐、球體等幾何體。

立體圖形特征的動態展示

Geogebra軟件可以快捷地對立體幾何圖形進行拖拽、旋轉以及展開，以便向學生動態地展示幾何圖形的三視圖與形成過程。以六面體為例，學生可以對構建的正六面體進行拖拽旋轉、放大縮小，從不同的視角去觀察它，并對其進行展開，形成一個動態的立體幾何的構建。

1.隱藏坐標軸構建正六面體（A，B，C）后，點擊3D繪圖區樣式欄左側第一項“顯示/隱藏坐標軸”按鈕（如圖2），將坐標軸隱藏，以便學生更好地對圖形進行觀察。

2.六面體的旋轉、放大/縮小。學生可以通過鼠標來拖拽旋轉正六面體（A，B，C），也可以通過選擇工具欄里“啟動/停止旋轉視圖”按鈕來完成對正六面體的旋轉，同時通過設置按鈕下方的滑動條數值來控制旋轉方向與速度，通過選擇工具欄里的“放大”按鈕、“還原”按鈕或者使用鼠標滾輪來改變正六面體的大小。

3.六面體的展開。選擇“繪圖區”工具欄里的“滑動條”工具，在繪圖區空白區域單擊，彈出滑動條對話框，由于多面體展開程度值的范圍是從0到1，所以滑動條的最小值設為0，最大值設為1，增量默認為0.1。在指令欄中輸入展開圖[正六面體（A，B，C），c]，通過控制滑動條c，即可改變正六面體（A，B，C）的展開程度，反復完美地動態呈現正六面體的展開過程（如圖3）。

輔助概念教學的理解

Geogebra軟件可以動態、完整地呈現問題條件的構造過程以及對動點的跟蹤過程，讓學生從多角度觀察，便于理解。

例如，球面a上的兩點C、F從同一個點B出發，以相同的速度分別沿圓BFH、圓BCH運動一周，其中平面BFH垂直于平面BCH，且這兩個平面的交線為a的直徑BH，用Geogebra軟件做出線段CF中點G的軌跡。

1.條件構建。選擇工具欄里的球面工具，構造一個半徑為4的球面a；然后在工具欄點擊“描點”工具，在球面y軸上新建點B，選擇“圓”工具，先后單擊x軸線和點B新建“圓c”（即平面BCH），接著先后單擊z軸線與點B新建“圓d”（即平面BFH），將兩圓另一交點命名為H。

2.求解過程。在圓d上隨意取一點C，選擇角度工具，做出∠BAC=α；利用“垂線”工具，做出垂直于平面BFH的直線h，選取“旋轉”工具，將B點繞直線h旋轉α得到點F。利用“線段”工具連接線段CF，并使用“中心/中點”工具，做出其中點G。選中點G，單擊右鍵選擇跟蹤，就可以通過拖動點C跟蹤點G的軌跡，并觀察到點G的軌跡是一個橢圓（如第66頁圖4）。

總之，數學來源于實踐，是現實世界的客觀反映。充分利用Geogebra能夠使原本抽象的內容具體化、形象化，幫助學生理解復雜概念，形成直觀印象，并全身心投入到探究活動中，真正成為學習的主人。endprint