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錢寶玉

創新整合點

利用幾何畫板軟件設計了鑲嵌實驗室，學生借助計算機，可以直觀地在計算機上對多邊形進行鑲嵌實驗，從而發現規律，總結出平面圖形鑲嵌的條件。

教材分析

平面圖形的鑲嵌是八年級的一節綜合實踐課，本節課主要是讓學生通過動手操作、小組合作、多媒體輔助（幾何畫板鑲嵌實驗室）等多種形式探究平面圖形鑲嵌的條件。在此之前，學生已經學習了三角形的內角和、多邊形的內角和等知識。通過這個課題的學習，學生可以經歷從實際問題抽象出數學問題，建立數學模型，綜合應用已有知識解決問題的過程，從而加深對相關知識的理解，提高思維能力，獲得分析問題的方法，對于今后的學習具有重要的意義。

學情分析

學生經歷了對平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形等性質和判定的探索活動，掌握了有關特殊四邊形的性質、判定，并了解多邊形的內角和外角。在本章前幾節的探索活動中，學生體現了主動合作和實踐動手能力，積累了一定的探索圖形性質的經驗，以及在活動過程中表現出一定的數學表達能力和數學思考的發展水平。

八年級學生對鑲嵌的認識大多數來源于生活實際中的感性認識，對其內在規律關注不夠，因而在本章教學中教師應通過創設情境，組織學生動手活動，在活動中與學生共同探究加深對鑲嵌的認識，發現其內在規律，將感性認識上升為理性認識。

教學目標

知識與技能目標：通過探索平面圖形的鑲嵌，知道用單一的正多邊形圖形能進行平面鑲嵌的只有正三角形、正四邊形或正六邊形，并能運用正多邊形圖形進行簡單的鑲嵌設計；在探究的過程中，理解正多邊形是否能夠鑲嵌的原因。

過程與方法目標：培養從實際中發現問題、解決實際問題的能力；培養創造性思維能力，理論聯系實際；培養動手操作、自主探索、合作學習的能力。

情感態度與價值觀目標：通過觀察、實驗、歸納、說理等學習活動，在體驗數學活動的探索性和創造性中提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心；在探索過程中，培養合作交流意識和一定的審美情感；進一步體會平面圖形在現實生活中的廣泛應用，體會數學與現實生活的密切聯系，認識數學的應用價值。

教學環境與準備

課前準備好若干常見的基本圖形的紙板：正三角形12個、正方形4個、正五邊形4個、正六邊形4個、正八邊形4個、一般的三角形6個、一般的四邊形4個。安排學生復習回顧多邊形內角和公式（n-2）180°，能夠根據公式計算出常見的正多邊形每個內角的度數。

安排學生在多媒體教室學習，注意分組，在計算機上安裝好幾何畫板鑲嵌實驗室軟件。

教學過程

1.創設情境，明晰概念

師：同學們，大家都知道，數學是來源于生活，同時反過來為生活服務的，只要大家做一個生活的有心人，處處觀察我們生活的世界，你們就會發現許許多多的數學奧秘。今天我們要研究的平面圖形的鑲嵌，也和我們的生活息息相關。（播放《關注身邊的數學，發現數學中的美》的視頻）大家看，這是我們的校園，大家都非常熟悉，如果細心觀察，你們會發現，這里面隱藏著一個數學的奧秘。現在，讓我們一起走進校園，然后從數學的角度來思考，校園里到底隱藏著一個怎樣的數學奧秘呢？

設計意圖：通過讓學生觀看視頻，讓學生體會數學就在我們身邊，滲透數學知識來源于生活，同時，讓學生感受數學中的美。

提出問題：當你漫步在校園里的時候，你是否發現了這些地磚和墻磚的拼鋪？實際上這種拼鋪在我們生活當中也隨處能看見，請大家從數學的角度出發進行思考，這些地磚、墻磚還有天花板，它們有什么樣的共同特征？

學生討論，說出特征，教師將學生所說的特征進行總結和概括，在此基礎上明晰平面圖形鑲嵌的概念。

設計意圖：讓學生通過觀察和思考，初步總結出平面圖形鑲嵌的定義，并掌握定義中的關鍵詞，為開展操作和探究活動做好準備。

2.操作探究，發現規律

探究活動一：同種正多邊形的鑲嵌

提出問題：小明家的新房進行地面裝修，他的父母在某建材市場選購材料的過程中看到如下幾種形狀的地磚：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形和正八邊形。如果只選擇一種進行地面裝修，哪幾種可供選擇？

操作探究：請各小組合理分工，利用多邊形模板或幾何畫板動手操作驗證（如圖1），得出結論，小組合作完成導學案上的探究報告，并準備進行小組展示。

活動時間：4分鐘。

請某個小組將探究活動一的鑲嵌圖案在黑板上進行展示。

教師引導學生按照探究報告的問題進行匯報交流。

①哪些正多邊形可以鑲嵌？哪些不能進行鑲嵌？

②請結合拼圖，具體說一下能夠鑲嵌的圖形是如何鑲嵌的？

③請結合拼圖，具體說一下正五邊形和正八邊形為什么不能進行鑲嵌？

④根據以上探究，你們能總結一下鑲嵌的條件嗎？一個正多邊形要能夠進行平面鑲嵌，它的內角要滿足什么條件？

設計意圖：提出現實問題，組織學生以小組為單位開展操作與探究，并通過實驗探究報告，引導學生初步總結出平面圖形鑲嵌的條件以及正多邊形鑲嵌的條件。

師：通過剛才發現的規律，你們還能再找到能夠進行平面鑲嵌的正多邊形嗎？說說你們的想法。（引導：能否用代數的方法解決剛才的問題？）

設計意圖：通過使用代數方法解決問題，讓學生體會數形結合以及方程思想在解決問題中的作用。

師：剛才我們研究的這些圖形都是正多邊形，是內角的度數和邊長也都相等的多邊形，可以說是特殊的多邊形，那么對于任意的多邊形，是否也能夠按照剛才的規律進行鑲嵌呢？

我們在研究問題時，很多時候是先研究特殊的情況，再研究一般的情況，這在數學上是一種從特殊到一般的數學方法。endprint

探究活動二：任意多邊形的平面鑲嵌

提出問題：小明的爸爸在裝修過程中用一些邊角余料切割成一些形狀、大小完全相同的任意三角形，他用這些三角形能進行地面鑲嵌嗎？任意的四邊形呢？

操作探究：請各小組合理分工，利用任意三角形和任意四邊形模板或幾何畫板動手操作驗證（如圖2），根據操作驗證，小組合作完成導學案上的探究報告，并準備進行小組展示。

活動時間：4分鐘。

某個小組將探究活動二的鑲嵌圖案在黑板上進行展示。

教師引導學生按照探究報告的問題進行匯報交流。

①任意三角形和任意四邊形是否可以進行鑲嵌？

②具體說一下它們是如何鑲嵌的？

師：剛才研究的圖形都是用同一種多邊形，對于兩種甚至三種多邊形的組合，是否也有這樣的規律呢？在數學學習過程中，我們往往先從簡單的開始研究，再研究復雜的情況，這就是從簡單到復雜的數學學習方法。

探究活動三：邊長相等的兩種正多邊形的組合鑲嵌

提出問題：小明的父母想用剛才邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中的兩種地磚進行地面裝修，請幫他們設計出利用兩種地磚進行組合鑲嵌的方案。

操作探究：小組PK。編號為奇數的小組利用動手操作來設計方案，編號為偶數的小組利用探究活動一和探究活動二發現的規律，利用幾何畫板進行鑲嵌實驗（如圖3）。

活動時間：5分鐘。

奇數組代表匯報探究成果。

①哪些正多邊形的組合可以進行平面鑲嵌？

②它們是如何鑲嵌的？

偶數組代表匯報通過方程思想探究得出的結果。

總結探究活動三得出的結論。

設計意圖：通過分組探究，讓學生用不同的方法解決，體會數學學習方法的多樣性。

3.總結歸納，提煉精華

通過以上的探究活動，總結歸納多邊形可以鑲嵌的條件：一是拼接點處幾個內角的和能夠構成360度角，二是相等的邊互相重合。

4.思維拓展，應用提升

提出問題：剛才我們研究的不管是同一種多邊形的鑲嵌還是組合圖形的鑲嵌，都是一些規則的圖形，那么對于不規則的圖形，是否也能進行平面鑲嵌呢？

教師出示如下頁圖4所示的兩個圖案，引導學生說出鑲嵌方法。

提出問題：如下頁圖5，在一個正方形的內部減去一個圖形，并平移，形成新的圖案。以這個圖案為“基本單位”能否進行鑲嵌？

教師引導學生總結通過剛才的三組圖形得到的結論。

設計意圖：從規則圖形到不規則圖形，為學生提供一種設計鑲嵌基本圖案的方法。

5.作業布置，學以致用

師：我校新校區正在建設中，請根據今天所學習的鑲嵌的知識，為我校新校區設計一種教室地面的鑲嵌方案，要求用三種正多邊形組合進行設計。你有多少種設計方案？

其實，鑲嵌就在我們身邊，它每時每刻都在裝點著我們的生活。希望大家通過今天這節課的學習，能用眼睛去發現美，用心靈去感受美，用智慧去創造美。在鑲嵌的背后，還有更多的數學奧秘等待著我們去探索，去發現。最后，伴隨著悠揚動聽的葫蘆絲旋律，讓我們在欣賞一組鑲嵌作品中結束本節課的學習。

● 教學反思

本節課的設計，我以自己創作的《學生身邊的數學和校園中的數學》的視頻引入，同時以生活中常見的豐富多彩的鑲嵌的視頻作為結尾，讓學生感知數學和我們的生活息息相關，數學就在我們身邊，數學可以給我們帶來美。

在操作和研究環節，我設計了三個探究活動，分別是同種正多邊形的鑲嵌、任意多邊形的鑲嵌、邊長相等的兩種正多邊形的鑲嵌。設計時遵循學生的認知規律，先研究特殊的圖形，再研究一般的圖形；先研究單一的簡單的圖形，再研究組合的復雜的圖形；先研究規則的圖形，再研究不規則的圖形。在這個過程中，讓學生體會并經歷“從特殊到一般”“從簡單到復雜”“從規則到不規則”等數學學習的一般方法，同時在過程中滲透了方程思想和數形結合的思想，數學思想和方法貫穿本節課的始終。

當然，通過實際的授課，本課還是存在很多需要重新思考和改進的地方：

①學生活動時間充分、活動形式多樣，活動進行得也比較順利，但對于部分學生而言還存在著“玩”的情況，對于這類學生來說活動的形式沖淡了活動的目的。

②教學語言不夠精練，重復性的話語雖然起到了重點知識重點強調的作用，但仍顯冗長而羅嗦；而一些指向過于明確的細化問題在某種程度上限制了學生的思維。

③時間分配上存在著前松后緊的情況，概念處理顯得過于拖沓，以至于后期的思考問題不夠深入，這還需要在活動設計和課堂節奏的調整上下功夫。

④若能在活動的初始階段把密鋪所需要的“量”（頂點、邊、角）都抓出來，給學生以具體呈現，本節課的學生活動會更具思想性。

⑤由于時間有限，本節課的研究僅限于多邊形的頂點和頂點重合、相等的邊重合的情況，在探究過程中，學生也出現了相等的邊不重合的情況，可以借助拼圖在黑板上進行演示，讓學生認同相等的邊必須重合，否則不能進行連續的鑲嵌。也可以借助幾何畫板軟件進行進一步的探究和嘗試，但由于時間關系，利用幾何畫板的探究設想并沒有進行。而對于其他形式基本沒有涉及，這也容易造成學生思維的局限性，可以在以后的教學中適當加以鋪墊和解釋。endprint