抽象代數中“變換群”概念的理解

馮玉明??

摘 要： 本文通過嘗試用簡潔的語言為初學《抽象代數》的學者講解“變換群”的概念，通過幾個例子解釋“變換”和“變換群”，最后舉例說明了兩個變換不一定可以交換。

關鍵詞：變換； 變換群；概念

一、 引言

《抽象代數》課程中的“變換”和“變換群”是學習的重點也是難點，對于初學者來說理解起來比較抽象，“變換群”也是他們接觸到的第一個抽象群，因此，不太容易理解。本文嘗試用比較淺顯的例子來對這些概念加以理解。

二、 “變換”的定義

定義1 一個集合A到A的映射叫做A的一個變換.

例子1 A={a，b}，則集合A的變換一共有四個，分別是：

f1：a→a，b→b； f2：a→b，b→a； f3：a→a，b→a； f4：a→b，b→b

第一個變換f1是集合A的恒等變換，它將集合中的任一個元映射成這個元本身。

例子2 Rn是n維實列向量構成的集合，P為實數域是一起有逆的n×n矩陣的集合，任取P中一個元A，對于Rn中任意一個向量x，定義映射

τA：Rn→Rn

x→Ax

那么這么定義的映射是集合Rn的一個變換。并且，這個變換是一一的。顯然，如果矩陣A為單位矩陣，那么τA是恒等變換。

三、 “變換群”的定義

定義2 一個集合A的若干個一一變換對于變換的復合做成的一個群叫做A的變換群。

例子3 把例子1中的兩個一一變換放在一起構成一個集合G={f1，f2}，則這個集合構成變換群，其中f1是單位元，f2的逆元是f2。

例子4 把定義2中的所有變換放在一起構成一個集合G={τA|A∈P}，那么它就是一個變換群。事實上，τI為這個群的單位元，其中，I為n階單位矩陣，τA-1=τA-1。

四、 “變換”不可交換舉例

圍繞著一個定點的旋轉可以把平面上的所有點一一對應到平面上的所有點，所以，旋轉可以看做平面上的一個一一變換。很顯然，任何兩個旋轉是可以互換的，比如，先旋轉α再旋轉β與先旋轉β再旋轉α效果是一樣的。

平移是平面上的另一種一一變換，同樣，兩個平移是可以互換的。但是一個平移和一個旋轉就未必是可以互換的，也就是說，先平移再旋轉與先旋轉再平移的效果未必是一樣的。例如，把（0，0）點向右平移一個單位到（1，0）點，再繞原點旋轉π2，那么該點變為（0，1）。如果先把（0，0）點繞原點旋轉π2，再向右平移一個單位，那么該點變位（1，0）。

參考文獻：

[1] 張禾瑞.近世代數（修訂本）[M].高等教育出版社，2013.endprint