讓人琢磨不透的“無窮”

竹林風(fēng)

“無窮”的本意是很多很多的意思，它有著神奇的魔力。一旦牽扯到它，就會(huì)出現(xiàn)各種不可思議的事情。走，一起去瞧瞧吧！對(duì)了，記得喚醒你的腦細(xì)胞并托好你的下巴！奇妙有趣的事就要發(fā)生了……

奇怪的旅店

相傳有這樣一家旅店，它設(shè)有無窮多個(gè)房間，房間號(hào)從1開始，無限制地排下去。也正因如此，它被稱為“無窮旅店”。

一天深夜，約翰走進(jìn)了這家旅店，想要一間房。

“真不好意思，約翰先生！所有房間都住滿了客人。”旅館老板微笑地回應(yīng)，“不過，如果您愿意給我一點(diǎn)兒時(shí)間，或許我可以為您騰出一間房來。”

說完，旅館老板便離開自己的辦公臺(tái)，很不好意思地叫醒了已睡下的客人，并請(qǐng)他們換房間：1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人搬到3號(hào)房間……n號(hào)房間的客人搬到（n+1）號(hào)房間。就這樣，1號(hào)房間被騰空了出來，約翰順利入住。

或許因?yàn)檎德眯型荆苣﹣砹艘粋€(gè)“無窮旅行團(tuán)”，成員人數(shù)與正整數(shù)一樣多。這時(shí)，剛才的應(yīng)急措施行不通了，旅店老板還有辦法安頓他們嗎？

當(dāng)然！這回他請(qǐng)1號(hào)房間的客人住到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人住到4號(hào)房間，3號(hào)房間的客人住到6號(hào)房間。這樣，所有奇數(shù)號(hào)的房間都空出來了，正好可以安排給 “無窮旅行團(tuán)”的成員住下。

客人們都沒退房，可緊接著又來了無窮多個(gè)“無窮旅行團(tuán)”。大家應(yīng)該會(huì)想：這次旅店老板應(yīng)該沒轍了吧！不，他想出了一條妙計(jì)，照樣把無窮多個(gè)“無窮旅行團(tuán)”的成員安排住下了。

原來他是這么安排的：

先假設(shè)（m，n）（其中m=1，2，3…）表示第m個(gè)旅行團(tuán)的第n個(gè)成員，則

第1個(gè)旅行團(tuán)中的成員為：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）…

第2個(gè)旅行團(tuán)中的成員為：（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）…

……

第m個(gè)旅行團(tuán)中的成員為：（m，1）（m，2）（m，3）（m，4）…

然后按下圖中箭頭的順序，每人住進(jìn)安排的1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)……房間，這樣便可讓所有旅行團(tuán)的成員都有房間住。

偶數(shù)VS自然數(shù)

問：偶數(shù)有多少個(gè)？

答：無窮個(gè)。

問：自然數(shù)有多少個(gè)？

答：無窮個(gè)。

問：偶數(shù)與自然數(shù)，哪一種數(shù)多？

答：這個(gè)……

對(duì)于這個(gè)問題，恐怕有不少同學(xué)會(huì)說：“當(dāng)然是自然數(shù)比偶數(shù)多了，因?yàn)榕紨?shù)的個(gè)數(shù)等于自然數(shù)個(gè)數(shù)的一半。”大家為什么會(huì)這么說呢？因?yàn)槠鏀?shù)與偶數(shù)合起來就是自然數(shù)，而奇數(shù)與偶數(shù)是相間排列的，所以奇數(shù)和偶數(shù)一樣多，都是自然數(shù)的一半。

自然數(shù)包括偶數(shù)，偶數(shù)是自然數(shù)的一部分，自然數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)多這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？聽起來好像確實(shí)是這么一回事，可事實(shí)是不是這樣的呢？

16世紀(jì)，意大利著名科學(xué)家伽利略給出了正確的答案：偶數(shù)和自然數(shù)一樣多。這似乎違背常識(shí)，因?yàn)樵?～10中，你只要數(shù)一下，就可以知道自然數(shù)有10個(gè)，偶數(shù)有5個(gè)，很顯然，自然數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多5個(gè)。但大家可別忘了，這是在有限的情況下，畢竟自然數(shù)和偶數(shù)可遠(yuǎn)不止那幾個(gè)，而是無窮個(gè)。于是，對(duì)于兩個(gè)無限的數(shù)量，數(shù)數(shù)的辦法是行不通了，因?yàn)闊o窮個(gè)是永遠(yuǎn)數(shù)不完的。

有什么辦法可以比較它們的數(shù)量呢？經(jīng)過一番苦思冥想，有了！我們可以用配對(duì)的辦法來比較。對(duì)，這種方法同樣可以用在無限上，關(guān)鍵要看比較的兩部分之間能否建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。如果能建立，那么我們就可以認(rèn)為兩者的數(shù)量相等。伽利略在自然數(shù)與偶數(shù)之間建立了如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系——

看，給出一個(gè)偶數(shù)，我們可以找出一個(gè)自然數(shù)與之對(duì)應(yīng)，給出的偶數(shù)不同，與之相對(duì)應(yīng)的自然數(shù)也不同；反過來，對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)，我們都可以找到一個(gè)偶數(shù)與其對(duì)應(yīng)，自然數(shù)不同，所對(duì)應(yīng)的偶數(shù)也不同。由此可見，偶數(shù)與自然數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以，偶數(shù)與自然數(shù)一樣多。

有沒有很意外？這就是“伽利略悖論”。在無限中，“部分”可以等于“整體”。如果一個(gè)量等于它的一部分量，那么這個(gè)量必是無限量；反之，無限量必然可以等于它的某一部分量。

奇妙有趣的事是一件接一件的，繼續(xù)往下看吧！endprint