由一道復習題的解題思路及答案引發的思考

吳桂琴

[摘 要]一位馬老師寫了題為“怎能從‘確定性推知‘可能性”的文章，文章對人教版教材六年級下冊第六單元中的一道復習題進行了深度解析，提出了很多有見地的觀點。然而對于馬老師的結論，我認為有些地方還有待商榷。

[關鍵詞]思考；概率；教學；解題思路

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）35-0073-01

復習題：甲、乙兩球支隊第一賽季的5場賽事比分如下表。如果兩隊再進行一場比賽，請預測哪支球隊獲勝的概率大？為什么？

一、復習題的解題思路及其答案展示

配套的《教師教學用書》上給出了分析提示，筆者將書中的兩種思路簡稱思路1和思路2。

思路1：從兩隊的歷史成績來看，可知兩隊取勝機會相等，均為。

思路2：最近的兩場賽事中乙隊連連取勝，應戰狀態較好，據此推斷接下來乙隊獲勝的概率更大。

馬老師提出了另外兩種可能，簡稱思路3和思路4。

思路3：從第一賽季整體水平來看，雙方均是勝兩場平一場負兩場，因此，兩隊贏得比賽的場次占總數的，和局占總數的，可得兩隊取勝的概率相等，均為。

思路4：對抗賽中賽果只有三種可能：戰勝、戰敗、戰平，故每種賽果出現的可能性為，于是兩隊戰勝對手的概率都是，戰平的概率也是。

馬老師認為，只有思路4是正確的，即兩隊取勝的概率都是。馬老師并未在文中明確指出錯因，筆者認為，思路4的準確性依然有待商榷。

二、對各種解題思路及答案的探討

思路1中，以兩隊的戰績持平為論據，斷言下場賽事兩隊的勝負概率為，明顯有誤。錯誤原因在于遺漏了平局的結果，我們用字母表示三種賽果：A表示“甲勝（乙負）”，B表示“甲負（乙勝）”，C表示“不分勝負”，顯然，三種賽果構成一個完整事件，因此有P（A）+P（B）+P（C）=1，而解答時默認P（A）=，P（B）=，從而迫使P（C）=0，這與完整事件的概率定義不符。每場比賽是一個相對獨立事件，其結果是無法相互影響的，所以根據前5場比賽的結果來推測第6場比賽的結果是不合理的。

思路2中，如果科學地考慮前5場比賽的總比分，甲隊險勝于乙隊，可以推斷甲隊獲勝的可能性大。因此，僅依據最近兩場比賽的結果來推測第6場比賽的結果也是不合理的。

只有思路3最接近正確答案，以5場比賽為樣本總量，推斷兩隊獲勝的概率都是，這種做法具有合理性。但是樣本容量過小，不足以逼近真實值，只有比賽場次（n）足夠多時，各事件發生的頻次無限趨近于某個固定值A，我們才能確定這個概率為P（A）。

思路4中，根據賽果的種類為三種，就簡單地將每種賽果出現的概率定為，這是毫無根據的。某隨機事件出現的概率是在大量重復實驗后，用該事件出現的頻次總量除以所有基本事件出現的總頻次。但是這種求概率的方法必須滿足“基本事件總數是有限、可數的，而且各個基本事件發生的概率是相等的。”對于足球比賽而言，三個基本事件A、B、C 發生的概率并不相等，故兩隊打敗對手的概率都是的結論值得進一步探討。

三、兩點思考

類似于上述習題不宜出現在小學階段的教材中。現實中，影響比賽結果的因素很多，如球隊實戰能力、戰略戰術調整、球員的調換等，即使同一球隊在同一地點的兩次比賽，也不能認為實驗環境條件不變。以上探討的題目中提供的數據，從不同的角度分析，判斷結果也會不同。這種高難度的習題出現在小學課本中不但不能拓寬學生思維，反而會削弱學生的學習興趣。

部分教師可能并沒有察覺到教參中存在的紕漏。當然，《教師教學用書》的編者在該書改版前應重新審訂，及時訂正錯漏之處，不斷完善內容，為廣大教師提供更多、更好的幫助。

教學是一項長期的“工程”，在“工程”的實施過程中，可能會遇到許多存在疑惑或有爭議的地方，教師應合理利用資源提升自己，善于提出問題，并借助眾力解決問題。

（責編 韋 迪）endprint