挖掘圖形變化活化認知建構

徐海燕

[摘 要]在數學教學中，如何對圖形變化規律展開深度挖掘，幫助學生順利轉換學習思維，已經成為教師需要重點考量的問題。深究圖形、甄辨本質、激活思維，這是教學“圓的面積公式推導”的基本操作思路。

[關鍵詞]圖形變化；思維構建；小學數學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）35-0030-02

“空間與圖形”是小學數學教學中一項重要的內容。它要求教師在教學時拓展學生思維的寬度，引導學生研究和挖掘圖形的本質，感知空間與圖形的文化價值，提升學生學習的動力。以“圓的面積公式推導”學習活動中圖形的變換為例，談談如何活用圖形變式，啟發和誘導學生科學掌握與圓相關聯的知識，凸顯圓的不同形式對學生認知建構的促進作用，讓數學課堂呈現情趣與智慧交相輝映的盛景。

一、深究圖形，引發思考

傳統的“圓的面積公式推導”的教學模式，主要是指導學生先把一個圓形紙片平均分成16等份或32等份，剪開后再拼一拼、比一比、理一理（厘清面積的變化關系、圖形的變化、邊的變化等）、算一算、議一議，最后通過評析、歸納，形成統一的認識，得到圓的面積計算公式。整個過程學生看似學習熱情很高，都在積極地實踐著、思考著、探討著，但始終讓人有一種不夠充實的感覺。靜心沉思，方覺在做、看、比、說等環節中，圖形解析深度不夠，聯系把握不透，導致人云亦云的現象發生，也導致后續變式訓練中學生對知識理解不透以及把握不準。對此，我將該內容的教學進行了新的實踐操作。

首先，指導學生平均分。通過問題“怎樣才能把整個圓平均分成相等的幾份？”的引領，讓學生帶著目的去嘗試，學生會自然地聯想到折紙的方式，輕松地把圓對折，平均分成2份；進而擴展到“再對折”的場景，讓學生明白每一次的對折，都是把圓再一次的平均分；最后展示折紙的痕跡，讓學生明白怎樣做才能實現平均分的道理。其次，指導學生組拼圖形。讓學生自己去組拼，目的是開闊學生的視野，讓學生有更多的體驗與感知的機會，也讓學生意識到學習不只是單一的路徑，只要善于思考、敢于思考，就一定會有所突破。再次，引領學生比較。“你認為哪種圖形更容易研究？”“主要的優勢是什么？”等問題，能引發學生積極的思考。最后，引導解讀。畫圖是策略，是技能，而蘊含其中的最重要的卻是引領學生讀懂圖，從而明晰關系，把握本質。為此，教師只有多方引領，科學指導，才能使學生明白圖形的內涵，為新知學習奠基，為新知建構積累。

【教學片段1】

師：長方形是我們最早學習的圖形，所以我們就先解析長方形的構造吧！從圖1中你能找到什么有價值的信息？

圖1

生1：長方形的面積等于圓的面積。

生2：長方形的長是圓周長的一半，寬是圓的半徑。

生3：圓的周長是2πr，它的一半就是πr，所以拼成的長方形的長是πr，寬是r，面積=πr×r=πr2。

師：再仔細琢磨一下，弄清生3算法的理由。

（學生再次利用手中的圖形去思考和研究圓的面積公式推導過程）

師：剛才我們選用了最熟悉的長方形來研究，如果是平行四邊形呢？你會研究它嗎？

生4：實質是一樣的。平行四邊形的底也是圓周長的一半，就是πr，作出它的高，發現對應的是圓的半徑r，用“底×高”，就是πr×r=πr2。

師：你們認為生4的分析有道理嗎？結合圖形相互說一說。

師：有同學剪拼后得到三角形，那它的面積又是怎樣的呢？

生5：拼的過程中，既沒有多一份，也沒有少一份，所以三角形的面積一定就是圓的面積。

師：圖2的近似圖形是什么？底是什么？高是什么？

（學生結合圖1解讀圖2，從而明白三角形的面積與圓的面積之間的聯系，把握其對應的關系）

生6：把圓平均分成16等份，拼成了三角形（如圖2），它的底是4份小圓弧，也就是圓周長的四分之一，即2πr÷4，高是4個半徑，就是4r，三角形的面積=底×高÷2=（2πr÷4）×（4r）÷2=πr2。

讓學生動起來，讓學生解讀每一個圖形，學生不僅看到圖形的變換關系，也把握了邊的變化，學習變得自然流暢，學習的效率得到提高。

二、變換圖形，甄別本質

面對學生對圖形的解讀和思考，我所想的是：“學生的理解深刻嗎？”“能否科學運用呢？”為此，我曾設計了一道習題檢測學生的掌握情況，結果令人大跌眼鏡。學生聽得懂，說得出，但真正用的時候卻不知所措。

習題：圖3中的圓的面積和平行四邊形的面積相等，平行四邊形的底是12.56厘米。圓的面積是多少平方厘米？

出示題目后，讓學生自主研究和思考后再解答。結果全班42個學生，除了18人能夠動筆解題，其余的則不知從何入手。就在這18個動筆解題的學生中，能夠有條理地分析并解答的僅有10人。我詢問了那些不知從何入手的學生，他們一致認為：缺少條件，根本就不好做。在能夠動筆但解題不完整的8個學生中，有的把12.56厘米理解成圓的周長，有的把12.56÷2看成是平行四邊形的底……為此，我組織了新一輪的圖形解讀訓練，讓學生學會反向思考，學會轉換思維，使學習充滿挑戰、充滿情趣。

【教學片段2】

師：通過讀題、看圖，你知道了什么？

生1：圓和平行四邊形的面積相等。

生2：我感覺到這兩個圖和例題中的圖很相似。

師：是嗎？那能把平行四邊形變回圓嗎？試試看。

師：你們的結論是什么？

生3：可以把平行四邊形變回圓，這和例題的轉化過程剛好相反。

生4：這個題目很簡單。平行四邊形的底是πr，高是r。底是12.56厘米，就是πr=12.56，r=4，所以面積是12.56×4=50.24（平方厘米）。（如圖4）endprint

師：為什么用12.56×4呢？

生5：圓的面積和平行四邊形的面積相等，平行四邊形的面積等于底乘高，所以就用12.56×4來計算。

生6：可以先算出半徑，再用圓的面積公式來計算的。

……

師：如果沒有這組特定的圖形，只有圓的面積等于平行四邊形的面積，還能判定平行四邊形的底是圓的周長的一半嗎？高還是圓的半徑嗎？

生7：不一定。

學生聽得懂，但卻不會做，這是很多教師的苦惱所在。究其原因，一是學生對概念本質的解讀不深刻，只停留在知識的表面，沒有深入到知識的內核；二是學生就圖說圖，看似看得懂，實質是不知所以然。為此，教師要多提供圖形變換的形式，讓學生在接受不同的感知沖擊時，能夠積累經驗，使認知變得厚實，使儲備變得豐厚。

三、用活圖形，提升思維

圖形不僅是解題的助手，更是促進思考的拐杖，用活圖形，因勢利導，能改善學習狀態，激發思維活力，讓數學學習活動變得富有情趣。為此，在具體的教學活動中，教師要善于利用圖形，滲透不同的解題策略，促進學生感悟相應的數學思想方法。

【教學片段3】

師：如圖4，已知圓的面積和長方形的面積相等，陰影部分的面積是15平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

生1：長方形的寬是圓的半徑，長是圓周長的一半。

生2：陰影部分的面積是15平方厘米。

生3：因為圓的面積和長方形的面積相等，如圖6，所以紅色部分的面積和藍色部分的面積是相等的。這樣紅色部分的面積就是圓的面積的3/4。

師：你的發現很了不起！能說得具體一點嗎？

生4：圓和長方形同時挖掉一個1/4圓，剩下的3/4圓和陰影部分的面積相等。

師：大家聽得懂嗎？結合圖形找出最基本的關系，試著獨立完成題目。

生5：15÷3×4=20（平方厘米）。

看似同樣的圖形，但思考的著力點卻迥然不同。為此，引領學生科學解讀習題、把握問題本質就顯得尤為重要。合作研究能使學生擺脫定式思維，學會換個角度去解析問題，找到圖形之間的根本性聯系。學生精彩的發言說明了學生完全有能力理解圖形轉化的策略，只要教師在教學中有機滲透，引領學生精準解讀圖形，充分相信學生的認知、技能與經驗儲備，學生的思維一定會得到鍛煉和發展。

挖掘圖形中的有效資源，能夠提升教學的含金量，也能促使學生調動所有的資源去探索、去研究，使學習演變為一種享受，一種快樂的體驗。教師要做源頭活水的開掘者，挖掘教材，活用教材，使教材成為奔涌無窮智慧的源泉。

（責編 童 夏）endprint