邵紅



數學歸納法是高中數學的基本方法之一,“考綱”不僅要求我們掌握數學歸納法的原理及其步驟,還要求我們能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題和綜合性問題.尤其對于江蘇高考(理科)附加題中的最后一小題往往離不開數學歸納法.
那么,什么是數學歸納法?
一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立;
(2)(歸納遞推)假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.
只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.上述證明方法叫作數學歸納法.
那么,數學歸納法能幫助我們破解哪些問題呢?
一、利用數學歸納法證明等式
2.“歸納——猜想——證明”的主要題型
(1)已知數列的遞推公式,求通項或前n項和.
(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數值是否存在.
(3)給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對任意正整數n都成立的一般性命題.
有道是“櫻桃好吃樹難栽”,數學歸納法證題“規則”不可忘!本文最后總結出5點數學歸納法的“精髓”,也算是給同學們的“友情提示”吧!
1.應用數學歸納法要運用“歸納假設”,沒有“歸納假設”的證明不是數學歸納法.
2.證明代數恒等式的關鍵是:第二步將式子轉化成與歸納假設的結構相同的形式——湊假設.然后利用歸納假設,經過恒等變形,得到結論所需要的形式——湊結論.
3.與自然數有關的不等式,有時也可用數學歸納法證明.在……