基于SA算法的灰色Verhulst模型在軟土路基沉降預測中的應用

邱紅勝，趙勇強，付紹卿，胡玉華

(1.武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢 430063；2.中交第二公路勘察設計研究院有限公司，湖北 武漢 430056)

0 引 言

近年來我國公路建設飛速發展，而在一些多軟土地區，公路路基在施工完成后會產生較大的工后沉降，造成經濟損失和人員傷亡。因此，對軟土路基的沉降分析非常重要，其對于確保公路工程質量和降低施工成本都有著極大的研究意義和實用價值。

目前，國內外對于軟土路基的沉降預測已經有了較深入的研究，常用的預測方法有理論計算法[1]，灰色預測法[2]，指數曲線法[3]，神經網絡法[4]等。其中灰色預測法源于1982年我國著名學者鄧聚龍院士提出的灰色系統理論[5]，該理論將部分數據已知，部分未知的小樣本信息稱為灰色信息，通過對灰色信息的生成和開發，提取有價值的數據，從而實現對系統運行行為，變化規律的正確描述和有效監控。軟土路基的沉降監測所需時間周期較長，往往難以得到足夠的沉降數據，因此監測得到的信息是不完全的，屬于灰色信息，可適用于灰色預測。

灰色Verhulst模型是灰色預測模型中的一種，主要用于描述灰色信息先增長，后逐漸趨向穩定的變化過程，即s型曲線過程，這與軟土路基的沉降趨勢是一致的，筆者在傳統灰色Verhulst模型的基礎上，利用SA算法(又稱模擬退火算法)對模型進行了優化，提高了沉降預測精度，解決了傳統模型預測誤差較大的問題，為工程中的路基沉降問題提供了一種新的研究方法。

1 傳統灰色Verhulst模型建模機理

設s(1)為工程實測得到的沉降序列，s(0)為s(1)的一次累減序列，有

s(1)=[s(1)(1)，s(1)(2)，…，s(1)(n)]T

(1)

s(0)=[s(0)(1)，s(0)(2)，…，s(0)(n)]T

(2)

其中：

s(0)(1)=s(1)(1)

(3)

s(0)(k)=s(1)(k)-s(1)(k-1)，k=2，3，…，n

(4)

設t(1)為非等間隔的時間序列，t(0)為t(1)的一次累減序列，t(0)和t(1)均為非負序列：

t(1)=[t(1)(1)，t(1)(2)，…，t(1)(n)]T

(5)

t(0)=[t(0)(1)，t(0)(2)，…，t(0)(n)]T

(6)

其中：

t(0)(1)=t(1)(1)

(7)

t(0)(k)=t(1)(k)-t(1)(k-1)，k=2，3，…，n

(8)

設z(1)為灰色Verhulst的背景值，z(1)由s(1)鄰均值等權生成，其中：

z(1)=[(z(1)(1)，z(1)(2)，…，z(1)(n)]T

(9)

z(1)(k)=0.5s(1)(k)+0.5s(1)(k-1)，k=2，3，…，n

(10)

則得灰色Verhulst模型：

s(0)(k)+az(1)(k)=b[z(1)(k)]2

(11)

式中：a為發展系數，b為控制系數。

灰色Verhulst模型白化方程為

(12)

令：

(13)

可推導出

s(0)(k)=-az(1)(k)t(0)(k)+b[z(1)(k)]2t(0)(k)

(14)

設：

(15)

將方程改寫為矩陣形式，則有：

(16)

s(0)=BP

(17)

上述方程組中s(0)和B為已知量，P為待定參數序列，由于變量a，b只有兩個，而方程個數有n-1個，而且n-1>2，方程組無解，只能得到相對解，但可以通過最小二乘法得到最小二乘解。故可求得方程最小二乘解為

(18)

將求得的a，b值代入灰色Verhulst模型白化方程，可求得白化方程的解為

(19)

由方程解可以得出灰色Verhulst模型的時間響應序列表達式為

k=1，2，…，n

(20)

式(20)即沉降預測表達式，對其取極限可得到軟土路基的最終沉降量：

(21)

2 模型優化與改進

2.1 優化原理

在灰色Verhulst模型的建立過程中，背景值z(1)對于模型參數的計算有著較大的影響。從幾何上看，背景值實質上是通過梯形積分公式近似計算出的s(1)(t)與t軸在區間[k-1，k] 上所圍成的面積值，由于梯形積分公式的代數精度較低，通過背景值求得的模型參數并不是最優解，導致傳統灰色Verhulst模型在進行路基沉降預測時很可能會出現較大的誤差，使得沉降預測不能滿足精度的要求，故還需要對模型進行改進和優化，以提高預測的準確性。

對式(20)進行變形得到：

(22)

令：

(23)

將p和q代入式(22)可得到等式：

(24)

(25)

只需求出修正系數c1和c2，便可得到p和q的最優解，為此，構造平均相對誤差函數f(c1，c2)，該函數可看成含有兩個自變量c1和c2的二元函數，通過以平均相對誤差最小為目標來確定c1和c2的值，從而對p和q進行修正。其中：

(26)

由于平均相對誤差函數f(c1，c2) 是一個非常復雜的函數，函數中包含大量嵌套矩陣的運算，因此無法求出函數的絕對最優解，但可以通過SA搜索算法的尋優能力，求出c1和c2的相對最優解。

2.2 求解算法

SA算法計算過程簡單明了，可以有效避免在優化過程中陷入局部極小，適用于復雜的非線性求解問題，故選用SA算法來求解平均相對誤差函數f(c1，c2)中c1和c2的相對最優解。求解具體流程如下：

1) 建立灰色Verhulst模型，得到時間響應序列表達式s-(1)(k)；

2) 構造以修正系數c1和c2為自變量的平均相對誤差函數f(c1，c2)，將其作為目標函數；

建立了基于MDS跟蹤傳感器位置的狀態方程和測量誤差.設系統狀態定義為N2×1,xk=vect(Bk)的向量,相應的狀態方程可以表示為

3) 確定初始溫度為控制參數T，終止溫度T終止為終止條件，確定冷卻系數r，有0

4) 產生一組初始解w=(c10，c20)，將初始解w代入目標函數得f=(c10，c20)；

8) 對初始溫度T進行冷卻，即T=rT，使T逐漸減小；

9) 當T減小到一定值時，若滿足終止條件T≤T終止，運算結束，此時解為最優解；若仍有T≥T終止，則重復循環5)至8)步驟，直到T滿足終止條件為止，最后輸出最優解。

3 工程實例應用與分析

3.1 工程概況

該工程實例為內蒙古沙漠地區烏審召生態工業園區嘎魯圖段一級公路的軟土路基，路段長度約為1 km。該段路基地處沙漠沼澤地區，屬于地下水和地表水排水不暢的低地勢段，所在地基表層細沙厚度為0.2 m，細沙以下為厚度3.5～5.4 m的粉土及淤泥質粉土夾層，地下水位在基底以下0.6 m。路基設計的填土高度為3.6 m，路基在堆載工況下沉降固結。選取典型路基觀測斷點K35+270，通過在該點斷面埋設沉降板進行監測，得到該點斷面的道中沉降數據見表1。

表1 K35+270道中斷面沉降值Table 1 The settlement value of middle section of K35+270 road

3.2 沉降預測和誤差分析

筆者利用Python編程語言來實現模型的建立和優化，Python[8]是一門開源編程語言，其語法簡潔優美，功能強大，有著豐富的庫工具支持，非常適合用于算法實現和科學計算。根據表1中的數據，通過Python語言編寫程序建立灰色Verhulst模型，使用SA算法對模型進行優化求解，其中算法參數設置如下：控制參數T=10 000，初始解w=(0，0)，冷卻系數r=0.985，新解的產生機制如下：

(27)

(28)

輸入參數，經循環計算后，共得出763組解，將得到的所有解繪成散點圖，如圖1。

圖1 解值散點圖Fig. 1 The scatter plot of solutions

從圖1可以看出，f值較小的點分布較為集中，白色點區域為所有f<0.005對應的點的集合，即平均相對誤差小于0.5%對應點集。從該區域中選取最小f值所對應的點，即為修正系數c1和c2的相對最優解。

最終求得模型參數a=-0.016 450，b=0.000 258，修正系數c1=0.000 18，c2=0.006 00。將求得解代入式(23)得到表達式：

(29)

對s-(1)(k)取極限：

(30)

得到路基在監測點的最終沉降量為63.76 mm。為了驗證優化后模型的準確度，分別計算出傳統模型和優化后模型在不同時間的預測值，以及對應的相對誤差，結果見表2。

表2 預測結果對比Table 2 Comparison of prediction results

由表2可見，優化后的灰色Verhulst模型的相對誤差普遍要小于未優化的傳統模型的相對誤差。對相對誤差取平均，得到傳統模型的平均相對誤差為16.66%，而優化后的灰色Verhulst模型的平均相對誤差為4.89%，遠小于未優化的模型的平均相對誤差，因此優化后的模型有著更高的準確度。為了更進一步對比分析，將表2中的預測值繪成模型在優化前后的沉降預測曲線，將實測數據繪成實測值曲線，結果見圖2。并將表2中兩種模型的相對誤差值也繪成曲線進行對比，結果見圖3。

圖2 沉降曲線對比Fig. 2 Comparison of settlement curves

圖3 相對誤差曲線對比Fig. 3 Comparison of relative error curves

圖2將實測值曲線和優化前后的灰色Verhulst曲線進行對比，可以看出，傳統灰色Verhulst曲線與實測值線相差較大，而優化后的灰色Verhulst曲線與實測值線更加接近，變化趨勢也更加一致。而從圖3可更直接地看出優化后的灰色Verhulst模型相對誤差更小，且隨著時間推移，模型的相對誤差有著逐漸收斂的趨勢，最終將趨近于0。這說明優化后的灰色Verhulst模型有更高的精確度和可行性，更適用于對路基沉降的預測。

4 結 語

傳統灰色Verhulst模型采用梯形積分公式計算背景值，導致其預測精度低，誤差大。筆者針對以上缺陷，將模型的時間響應序列表達式進行變形，加入修正系數，鑒于模型計算的復雜性，引入SA搜索算法來求解模型參數的相對最優解，從而實現了對模型的優化和改進。

將優化后的模型應用于實際的路基沉降預測，計算得到該段公路路基在監測點的最終沉降量為63.76 mm。通過對比分析模型在優化前后的沉降預測曲線，以及相對誤差變化曲線，得出優化后的灰色Verhulst模型的預測精度顯著提高，且相對誤差隨時間變化呈收斂趨勢，表明經SA算法優化后的灰色Verhulst模型有著更高的精確度和可靠性，可以更好地應用于工程實踐。

[1] 李成柱，周志芳.地面沉降的數值計算模型與流固耦合理論綜述[J].勘察科學技術，2006(6)：14-20.

LI Chengzhu，ZHOU Zhifang.Review of numerical calculation models for land subsidence and fluid-solid coupling theory[J].SiteInvestigationScienceandTechnology，2006(6)：14-20.

[2] 朱杰，孫樹林.灰色模型在軟土路基沉降預測中的應用[J].路基工程，2006(4)：84-87.

ZHU Jie，SUN Shulin.Application of gray mode for predicated subgrade settlement on soft soil ground[J].SubgradeEngineering，2006(4)：84-87.

[3] 高燕希，莫志兵，魏金勝.指數曲線法在軟土地基沉降預測中的優化與應用[J].交通科學與工程，2011，27(2)：1-5.

GAO Yanxi，MO Zhibing，WEI Jinsheng.Optimization and application of exponential curve method in soft soil foundation settlement prediction[J].JournalofTransportScienceandEngineering，2011，27(2)：1-5.

[4] 王志亮，許可.高速公路沉降預測神經網絡法應用研究[J].低溫建筑技術，2004 (1)：36-38.

WANG Zhiliang，XU Ke.Study on application of neural network method in settlement predication of highway[J].LowTemperatureArchitectureTechnology， 2004 (1)：36-38.

[5] 肖新平，毛樹華.灰預測與決策方法[M].北京：科學出版社，2013.

XIAO Xinping，MAO Shuhua.GreyForecastingandDecisionMakingMethod[M].Beijing：Science Press，2013.

[6] 謝云.模擬退火算法綜述[J].微計算機信息，1998(5)：63-65.

XIE Yun.A summary on the simulated annealing algorithm[J].MicrocomputerInformation，1998(5)：63-65.

[7] METROPOLIS N, ROSENBLUTH A W, ROSENBLUTH M N, et al. Equations of state calculations by fast computing machines[J].JournalofChemicalPhysics，1953，21(6)：1 087-1 091.

[8] 沈殊璇，薄亞明.適合于科學計算的腳本語言Python[J].微計算機應用，2002，23(5)：289-291.

SHEN Shuxuan，BO Yaming.Python-a script language fit for science computation[J].MicrocomputerApplications，2002，23(5)：289-291.