“自然數與有理數一樣多”的數學證明

山東省日照第一中學 張銘哲

在百度知道里有人提了一個問題：“為什么自然數和有理數一樣多？”是的，乍一看貌似是有理數多一點，因為有理數包括分數和自然數。但是，有理數的集合與自然數的集合的元素都是無限的，無限對無限，怎么用數學嚴格證明自然數集合與有理數集合的元素是多還是少呢？

我們可以建立映射來確定這種關系，所謂映射，實際上是一種兩個集合中元素之間的關系。我們熟知的函數就是一種映射。

既是單射又是滿射的映射叫作雙射，也稱一一對應。

相信你一定知道了，如果我們要證明兩個集合中的元素個數相等，可以構造一個映射，使這個映射既是滿射，又是單射。所以這個思想我們可以用來證明有理數集R與自然數集N的元素數相等（一般的，若我們稱為集合X與集合Y等勢，可簡記為

我們再定義一個概念：若一個集合A與自然數集N等勢，則稱集合A為可數集（可數集都是無限集）。

一個集合A為可數集的充分必要條件是它的元素可列成一個形如的（各項不重復）無窮數列，A的每一個元素在數列中僅出現一次。

好，現在我們證明有理數集R自然數集N等勢。

證明：

由有理數定義：任意一個有理數必可寫為兩個整數之比。

下面我們證明：任意個可數集的并都是可數集。

同樣的，我們只需要變一下正負號，就可以得出負有理數集R-也是可數集。于是我們得出有理數集也是可數集，所以它也與自然數集N等勢。

這樣，我們就嚴格證明了有理數和自然數一樣多。依據這個證明思路，我們可以證明整數也與自然數一樣多。但是要注意，實數是不能與自然數構成雙射的，因為實數中某些數，比如π，只能用無窮級數精確表示，不能構成映射，而且實數也不能排列成無窮數列，因為它是無縫的。