四階行列式計算方法的一些教學探討

甘媛

【摘 要】行列式的計算是線性代數中主要的基礎知識之一，利用倍加性質造零是四階行列式的計算方法中最關鍵的步驟，也是難點。針對高職高專學生的特點，總結出學生容易理解接受的新技巧———找1造0，橫寫豎算（豎寫橫算），有效地突破這一難點，提高教學效果。

【關鍵詞】四階行列式；倍加造零；找1造0；橫寫豎算；豎寫橫算

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）32-0014-02

一、引言

行列式計算的思想和方法其實是以行列式的性質為工具，把四階行列式化為一些特殊的行列式或是三階行列式來求解。而數字行列式一般是降為三階行列式來進行計算，因此計算方法離不開倍加性質和拉普拉斯展開式。

二、分析探討

我們先回憶一下倍加性質：把行列式的某一行（列）的元素乘以常數k，再加到另一行（列）的對應元素上，行列式的值不變。這條性質主要用于把元素化為零，因此又叫“倍加造零”。但是這條性質中學生最難以理解的是如何造？為了突破這個教學難點，我們必須明確以下幾點：

（1）在性質中涉及到兩行（列）元素，首先必須知道的是哪一行（列）上的元素發生變化。

（2）“倍加”二字包括乘法和加法兩種運算，也就意味著具體計算是先乘法后加法。

（3）常數k如何取，取什么數才能合乎題意，這是難點。

（4）最終目的是造零，零的個數越多，求解就越簡便，但某一行（列）最多也就是三個零。

對于四階行列式的求解有兩種辦法，一種是利用拉普拉斯展開式，直接降階為三階行列式，這種計算方法的缺點是計算量大，至少要計算兩個或兩個以上的三階行列式。而通過倍加造零后再降階，造零后的四階行列式最終可以直接轉化成一個三階行列式來計算。目標：先把四階行列式的某一行（列）的三個元素變成零。為了使造零的過程簡單些，再根據高職高專學生的水平基礎，我們一般先找到最多零所在的行或列，最后留住一個1，造三個0；找到某一行就是橫寫，找到某一列就是豎寫，寫啥呢？寫一個1，三個0，寫完以后，記得明確橫寫，那么造零的過程只能列與列之間的倍加變換；豎寫，那么造零的過程就只能行與行之間的倍加變換。這就是第一個技巧叫橫寫豎算或豎寫橫算。

以實際例子來示范，比如：，我們先找到最多零的第二行（也可以第四行，方法類似），寫上一個1，三個0，；然后分析第二行的第一個、第二個元素都沒有發生變化，所以代表著第一列和第二列的元素全部保持不變，再接著寫完整就是，第一個步驟完成。接下來分析，真正要計算的元素實際上只有6個，這6個如何計算，利用倍加性質。先看第三個元素由變成0，利用倒推法，只有加上1才等于0，找1造0，相當于1只要乘以1倍還是1，因此得到第一列乘以常數1，再加到第三列，；同理可知第四個元素的造法，由2變成0，只有加上，相當于1只要乘以就行，因此是第一列乘以常數，再加到第四列，，這就是找1造零。最后再利用拉普拉斯展開式，轉化成一個三階行列式來計算。

綜合起來：

這個解題技巧就是橫寫豎算，找1造0.

同理我們也可以進行豎寫橫算，比如我們找到最多零的第二列（也可以第四列，方法類似），按上述步驟，先豎寫好1和0，，對比原式第一行和第二行沒有變化，所以；第二步找1造0，第一行乘以加到第三行，第一行乘以加到第四行，；最后再降為三階行列式計算。

綜合起來：

利用橫寫豎算（豎寫橫算）和找1造0這兩個技巧，高職高專的學生更容易找到解題的方法和訣竅，計算起來也更加準確清晰，不會被這么多數字搞迷糊。

當然，在倍加造零這條性質里，并不僅僅只能找1造0，其實找任何數字都可以造0，只不過按照高職高專學生的基礎而言，找1造0是最簡單也是最容易計算的，這種題型在實際求解題型中也是最多的。如果找其他數字造零，倍數有可能需要的是分數，而不是整數，計算起來相對復雜一些，但原理也是一樣的。

比如上題，找0多的所在行（列）展開降階，這一分析過程和前面是一樣的，我們仍以第二列展開，第二行的4個元素1、0、3、1，如果不找1來造0，我們選擇3來造0，那么3要把1變成0的話，1依舊加上才能等于0，但倍數要從3得到的話，只能是3乘以-13.因此是第三行乘以-13，再加到第一行或第四行。具體過程如下：

雖然最后結果也是6，但明顯計算過程比前面復雜多了，因此我們選擇找1來造0，是最便捷的選擇。

三、結束語

對于高職高專學生而言，行列式的計算特別是高階行列式的計算，在利用倍加性質的過程中數字計算確實比較容易混淆，有一定的難度，但只要抓住性質的本質，掌握解題的技巧，反復計算練習，就能突破難點，熟能生巧，解決問題。

參考文獻

[1]彭玉芳，尹福源，沈亦一.線性代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010.