相似三角形在高中物理中的應用

摘?要：全國卷對學生的數學要求較高。相似三角形是高中物理中常用的數學工具。分類敘述了高中物理中利用相似三角形解題的類型。

關鍵詞：高中;物理;相似三角形

從2016年起廣東高考采用全國卷課標Ⅰ卷。與廣東卷相比，全國卷具有難度大，文字量大，考點規律性低等的特點。其中，數學工具運用的高要求是造成全國卷難度大的一個重要的因素。高考考試大綱中明確指出高考物理科要考核的能力包括“應用數學處理物理問題的能力：能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論;必要時能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析”。

在運用幾何圖形分析方面，物理解題最常用的數學工具是直角三角形，物理中用到的三角函數和勾股定理都需要在構建出來的直角三角形中使用，一般情況下教師會針對三角函數和勾股定理對學生進行針對訓練，因此學生對這兩種規律的應用掌握得比較好。但是當題目不出現直角三角形時學生往往手足無措無從下手，這時相似三角形為學生提供了第三種解決物理問題的方法。相似三角形是初中的數學知識，在高中物理中是常使用的數學工具，是學生必須掌握的解題工具之一。高中物理中利用相似三角形解題的類型有以下幾類。

一、

斜面上的物體受力分析

例1?一質量為m的物體靜止在粗糙的斜面上，按重力的作用效果對重力進行分解。

解析：重力分解如圖。力的示意圖中，力mg、F1（或力mg、F2）所在的三角形和斜面所在的三角形相似。

點評：受力分解矢量三角形和裝置形狀相似。

二、 動態分析

例2?如圖所示，垂直桿AO的O端固定有光滑鉸鏈以固定輕桿BO，桿BO與桿AO間的夾角為θ，B端懸掛一重物并與一繩子連接。繩子在光滑的小滑輪上跨過桿頂部，用力F拉住繩子，使夾角θ緩慢減小，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力FN的大小變化情況為

（??）

A. FN始終不變B. FN先減小，后增大

C.

F先減小，后增大D. F逐漸減小

解析：設物體的重力為G。對結點B做受力分析得B點受繩子拉力F、懸掛物體的繩子的拉力F1和桿的支持力FN，如圖作出力FN與F的合力F2，由結點B平衡可知，F2=F1=G。由力三角形和裝置三角形相似得FNF2=BOAO得到FN=BOAOG，由于BO、AO、G均不變，則FN保持不變。同理：FF2=ABAO得到F=ABAOG，由于AO、G不變，AB逐漸減小，所以F逐漸減小。故選AD。

點評：受力合成三角形和裝置形狀相似。

例3?某同學利用電場研究物體的平衡，用輕繩系一帶正電的小球，放入水平向右的電場中，此時電場強度大小為E1，輕繩與豎直方向成θ角（θ<45°）。使電場方向在同一豎直平面內逆時針轉過θ角，當電場強度大小為E2時，輕繩與豎直方向仍成θ角。使電場方向在同一豎直平面內逆時針再轉過θ角，當電場強度大小為E3時，輕繩與豎直方向仍成θ角。則

（??）

A. E1=E3>E2

B. E1

C.

E1=E3

D. 繩子拉力逐漸減小

解析：以小球為研究對象，分析其受力情況，小球受三個力：重力、繩子的拉力T、電場力F。根據平衡平衡條件得知，T和F的合力方向豎直向上，大小與重力相等，此力大小方向均保持不變，作出電場三個不同方向時，兩個力的變化如圖，由幾何關系得F2與T垂直，F1F2所在的三角形與F2F3所在的三角形相似，可得，F1=F3>F2即E1=E3>E2。由圖看出，繩子拉力減小。故AD正確。

點評：受力合成三角形變化前后相似。

三、 運動學

例4?（2013課標Ⅰ）水平桌面上有兩個玩具車A和B，兩者用一輕質細橡皮筋相連，在橡皮筋上有一紅色標記R。在初始時橡皮筋處于拉直狀態，A、B和R分別位于直角坐標系中的（0，21）、（0，-1）和（0，0）點。已知A從靜止開始沿y軸正向做加速度大小為a的勻加速運動;B平行于x軸朝x軸正向勻速運動。在兩車此后運動的過程中，標記R在某時刻通過點（1，1）。假定橡皮筋的伸長是均勻的，求B運動速度的大小。

解析：初始狀態可知ARRB=2ll=21，細橡皮筋均勻伸長，末狀態仍為ARRB=21，因此HEEF=FIIG=ARRB=21。由運動學公式代入可得所求B運動的速度。

點評：裝置特性引起的相似。本題運動學知識較簡單，不存在難點。阻礙學生得分的難點在于橡皮筋特性引起的位移關系。學生審題后未能找出裝置特性寫出相似關系是本題得分率偏低的原因。

四、

平拋運動

例5?如圖，一直升機進行救災物資的投射，當經過一山坡底端M點正上方N點時，飛機以水平向左的速度v0投出一包裹A，A剛好垂直落在山坡上，設山坡傾角為45°，包裹A飛行時間為t1。若第二次直升機在N點無初速度投下包裹B，B剛好落在M點，設包裹B飛行時間為t2，不計空氣阻力，則t1與t2之比為

（??）

A. 1∶2?B. 1∶2

C. 1∶3?D. 1∶3

解析：包裹A剛好垂直落在山坡上，說明速度方向與山坡垂直即與水平方向夾角為45°，tan45°=vyv0=gtv0=2yx=1，可得y=x2，又由幾何關系得N點高度h=y+xtan45°，即h=3y。因此，A、B下落高度比為1∶3，由h=12gt2可得包裹A、B飛行時間比為1∶3，D正確。

點評：運動分解三角形和裝置形狀相似。本題難點在于：1.

不能從“垂直落在山坡上”分析出包裹A落在山坡上的速度方向;2. 不能從幾何關系中找到A的落地到地面的高度，無關找出隱藏的相似三角形。

五、

帶電粒子在方向相反的相鄰兩個磁場內的圓周運動

例6?（2014廣東卷）如圖所示，足夠大的平行擋板A1、A2豎直放置，間距6L。兩板間存在兩個方向相反的勻強磁場區域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN為理想分界面，Ⅰ區的磁感應強度為B0，方向垂直紙面向外。A1、A2上各有位置正對的小孔S1、S2，兩孔與分界面MN的距離均為L。質量為m、電量為+q的粒子經寬度為d的勻強電場由靜止加速后，沿水平方向從S1進入Ⅰ區，并直接偏轉到MN上的P點，再進入Ⅱ區，P點與A1板的距離是L的k倍，不計重力，碰到擋板的粒子不予考慮。

（1）若k=1，求勻強電場的電場強度E;

（2）若2

解析：粒子經過相鄰的兩個磁場，在磁場中發生偏轉，作出兩次偏轉時的半徑如圖。兩條半徑與磁場分界線組成的兩個三角形相似，因此有k3-k=rr1。代入特征方程qvB=mv2r中可得所求關系式。

點評：磁場特性引起的相似。本題為2014年廣東高考題，本題難點在于無法找出兩個半徑的關系。

綜上可知，需要使用相似三角形進行解題的題目往往在裝置上具有以下特點：1. 裝置形狀具有一定的特點，例如裝置本身就為三角形;2.

所在的場有一定的特點，例如兩磁場相鄰。

從以上例子可以看出相似三角形作為數學工具應用在物理上還是很常見的，可以說在高中物理上它是繼三角函數，勾股定理后第三常用的幾何類數學工具。在教學中，引導學生總結出需要使用相似三角形解題的題型特征，并通過訓練使學生達到熟練運用的效果并不是一件困難的事，這對于提高尖子生的考試成績往往起到重要的作用。物理教師在教授物理知識的同時，還要注重教授數學工具的使用，適應高考考試要求，降低學生學習物理的難度，增強學生學習物理的興趣和信心，從而提高學生的物理成績。

參考文獻：

[1]2016年普通高等學校招生全國統一考試理科綜合考試大綱的說明.

[2]2013年普通高等學校招生全國統一考試（課標Ⅰ卷）理科綜合第24題.

[3]2014年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）理科綜合第36題.

作者簡介：

鄭維靖，廣東省江門市，廣東省江門市第一中學。