摒棄功利經歷過程使規則學習變得厚重
———以《確定位置》為例談規則教學的四個步驟

陳昌倫（特級教師） 張奕芳

【教學內容】

北師大版四年級上冊第六單元。

【教學過程】

一、需要規則

數學知識的形成與發展，都是因為“需要”——生活的需要、生產的需要、數學的需要，概括成一句話，那就是人類社會的需要。“規則”也是因為需要而形成，在日常生活和生產中，在數學研究與表達中，群體需要一個統一的方法、條例或章程，所以產生規則。

師：同學們，今天后面來了很多老師聽課，誰能告訴他們，你們是幾年級幾班的？

生：四年級五班。

師：簡潔點還可以怎么說？

生：四（5）班。

師：數學講究簡潔，只說五班不是更簡潔嗎？

生：那別人就不知道我們是幾年級的了。

師：這說明我們在追求簡潔的同時，意思還要表達準確。

師：我們開家長會的時候，會告訴家長你的座位，你是怎樣告訴爸爸媽媽的？以小明的座位為例說說。

生：左起第二組第五排。

生：右起第七組第五排。

師：數學不是需要簡潔嗎？簡潔點怎么表示？

生：2，5 或 7，5。

師：數字記錄的確簡潔。我這里有兩個數字（出示數字牌“5，3”），請你根據這兩個數字找到這位同學的座位。

生1找到左起第五組第三排；生2找到右起第五組第三排；生3找到第五排左起第三個，生4找到第五排右起第三個；生5找到左起第五組倒數第三個；生6找到右起第五組倒數第三個。（教師把數字牌分別交給這些位置的同學）

生：老師，這樣不對！

師：為什么不對？

生：兩個數字應該表示一個固定的位置，可是現在表示了六個位置。

師：是的，我也覺得這樣不行。你們覺得問題出在哪兒？

生：在數組的時候，有的從左往右數，有的從右往左數；在數排的時候，有的從前往后數，有的從后往前數。

師：也就是數的方向不一樣。

生：有的先數組再數排，有的先數排再數組。

師：也就是數的順序不一樣。

師：方向和順序不統一，也就是規則不統一。規則不統一就給我們帶來了麻煩，你們覺得要使兩個數表示一個確定的位置，必須解決一個什么問題？

生：統一規則。

二、制訂規則

有的教師認為規則是前人制訂好了的，不可以更改也沒有探究的必要，就直接把規則“教”給學生。把規則教給學生，讓學生掌握規則，能應用規則解釋現象、解決問題，學生就能“應試”了，數學教學任務也就完成了，這是一種功利的思想。

既然是規則，就有一個制訂的過程，讓學生經歷制訂規則的過程，從而認識規則的內涵，實際上是經歷了知識的形成過程。

師：那我們就來共同制訂一個統一的規則，請四人小組討論并完成題單。

題單：用兩個數字確定位置時，這兩個數字分別表示第幾組和第幾排，應先表示_____，后表示；數組的時候應從_____往_____數，數排的時候應從_____往_____數。

（小組討論后匯報）

生1：我們小組認為，用兩個數確定位置時，應先表示組再表示排；數組時應從左往右數，數排時應從前往后數。

生2：為什么要先表示組后表示排呢？

生1：因為我們一般都是說你在第幾組第幾排，而不是說你在第幾排第幾組，與我們習慣相同。同樣，數組時從左到右，數排時從前往后，也是與我們一般的習慣相同。

生2：從左往右，是從我們的位置來看，還是從老師的位置來看？位置不同，左右是相反的。

生1：我們開始還沒有想到這個問題，商量后我們認為應以老師的角度來定哪是左哪是右。因為找位置，是站在教室的前面來找，那就是以老師的位置來定。

生3：對于數的方向，我贊同你們小組的意見：數組的時候，應站在老師的位置，從左往右數；數排的時候，從前往后數。但我們小組認為應先數排，再數這一排的第幾個，因為我們常常問“你在第幾排第幾個”。

生1：也是可以的。

生：不行，這兩個規則不統一，不統一兩個數就不能準確地確定一個位置，要么依你們的規則，要么依他們的規則，規則只能是一個，不能是兩個。

生：這個規則的統一不能只限于我們班，我們班一個規則，其他班一個規則，也是不行的。

三、統一規則

任何知識的形成，都必然經歷一個不斷完善和統一的過程。人類的語言可以不同、文化可以不同、信仰也可以不同，但數學知識往往是相同的。數學知識因為統一，而便于表達與交流，從此，數學便沒有了國界，成為人類文明的一個標志。

在規則形成的過程中，開始是不統一的，各有各的規則，因為在表達和交流中的不方便，逐步過渡到小范圍的統一，再到大范圍的統一，最終形成一致的規則，大家都去遵守它、應用它。學生在交流過程中意識到這一點，是非常值得贊賞的，這不僅僅是在研究規則，更是在研究超越規則以外的社會認識活動。

師：制訂規則的時候，同學們做到了小組統一，可剛才大家也看到了，從全班來看，規則還是不一致，那又怎么辦呢？

生：首先我們班要統一，用舉手表決的方式，統一后大家都遵守這個規則，放棄不同的規則。

（舉手表決結果，大家同意匯報小組的意見）

生：這樣也不行，我想數學上肯定有了這樣的規則，如果有我們就應該遵守它，而放棄不同的規則。

師：這是一個好辦法，請同學們在書上找一找，這個規則是怎樣的？（課件展示教材內容）

生：數學上的規則與我們的相同，書上說小青在第三組第二個位置，也可以表示為（3，2），說明先數組后數排；數組的時候，是以老師的位置來觀察，從左到右，數排的時候是從前往后。

師：其實關于位置的確定還有一個故事呢。（課件播放：“有一次，笛卡爾生病了，躺在床上，看到墻角蜘蛛網上有很多的交點，這些點是橫著和豎著的蜘蛛絲相交而成的。他忍不住叫起來：“有了，用兩個數不就可以將點的位置確定下來嘛！”一個數表示點豎著的位置，另一個數表示點橫著的位置。這樣用兩個點確定位置的方法叫做“數對”）

（板書：用“數對”表示位置）

四、應用規則

規則本身是一個陳述性知識，只有應用規則解決問題，解釋現象，上升到程序性知識，才算是對規則的深度掌握。應用規則不僅僅是學到知識，更重要的是形成技能。當程序性知識形成并達到一定的熟悉程度，變為自動化的反應，就減少了大腦的記憶量。

師：先組后排，我們先來數一數你在第幾組，再數你在第幾排。

師：你能用數對表示自己的位置嗎？請一位同學上來記錄。

生：我的位置是2，7。

生：我的位置是4，2。

……

（學生記錄為：27；42……）

生：不能這么記，像二十七和四十二了。

師：那怎么記呢？

（有學生說用圓點隔開，有學生說用逗號隔開，有學生說用橫線隔開，有學生說用斜線隔開……在交流的過程中大家認為圓點像小數點，橫線像減號，斜線像分數線，一致認為用逗號隔開比較好）

師：數學上采用逗號隔開，并用小括號把兩個數括起來，用這一對數表示位置的方法叫做數對。請用數對表示你的位置。

練習：用數對表示實物圖上的位置，用數對表示方格圖上的點，用點描出數對的位置等。

小結：位置在同一列的數對，第一個數字相同；位置在同一排的數對，第二個數字相同；在一條直線上的點，其列與行增加或減少的數分別相同……

出示生活中的數對：建國60周年大閱兵時的方陣、象棋、地球儀上的經緯線，北京奧運會開幕式上活字印刷術的表演等。

小結：確定位置有時只需1個數，有時要用到2個數，學生猜想有時還要用到3個數。

規則不是一個冰冷的數學知識，它有一個因為需要而產生、從制訂到統一的過程，它中間有故事、有人物、有數學史。規則的教學，我們強調經歷，不贊同只注重結論、只學會應用。需要規則、制訂規則、統一規則、應用規則，規則的學習就會變得十分有趣，這樣的學習也就成為一種研究性的學習了。