高考題怎么改編
——導數篇

蘇 玖

真題展現

問題1（2018年全國Ⅰ卷第5題）設函數f（x）＝x3+（a-1）x2+ax，若f（x）為奇函數，則曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為（ ）

A.y＝-2xB.y＝-x

C.y＝2xD.y＝x

問題2（2018年江蘇卷第19題）記f′（x），g′（x）分別為函數f（x），g（x）的導函數.若存在x0∈R，滿足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），則稱x0為函數f（x）與g（x）的一個“S點”.

（1）證明：函數f（x）＝x與g（x）＝x2+2x-2不存在“S點”；

（2）若函數f（x）＝ax2-1與g（x）＝lnx存在“S點”，求實數a的值；

（3）已知函數f（x）＝ -x2+a，g（x）＝，對任意a＞0，判斷是否存在b＞0，使函數f（x）與g（x）在區間（0，+∞）內存在“S點”，并說明理由.

思維延伸

問題1是“在點（0，0）處的切線”，如果把“在”改為“過”呢？于是有：

（改編1-1）已知函數f（x）＝x3+x，求過點P（1，2）的切線方程.

上述改編題中的點P在函數f（x）的圖象上，如果這一點不一定在函數圖象時，情況會怎樣？請看：

（改編1-2）已知函數f（x）＝x3+ax，若過點P（1，2）的切線有且僅有2條，求a的值.

第2道改編題中函數是變化的，點是定的，如果函數確定，點P坐標滿足什么樣的條件可以作3條切線？于是有：

（改編1-3）已知函數f（x）＝x3-3x對應的曲線為C，若過點P（a，b）（a＞0）可以作曲線C的3條切線，求證：-3a＜b＜f（a）.

問題2中f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0）的含義就是函數f（x）與g（x）的圖象在點x＝x0處具有公共切線l，直線l從公共點處穿過，將每條函數圖象一分為二.也可以分布在直線l兩側.請看：

（改編2-1）已知函數f（x）＝x2，g（x）＝2elnx（x＞0）（e為自然對數的底數）.

試探究是否存在一次函數y＝kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b對一切x＞0恒成立，若存在，求出該一次函數的表達式；若不存在，請說明理由.

此題的兩個函數都是確定的，也可以讓一個函數是動態的，于是有：

（改編 2-2）已知函數f（x）＝x-2，g（x）＝a-x2，是否存在k，b∈R，使得g（x）≤kx+b≤f（x）對一切實數x（x≠0）恒成立，若存在，求出a的取值范圍，否則，請說明理由.

這題中的直線將兩條函數圖象隔離了，有一類函數上存在點S，在該點處的切線將函數圖象分成上下兩個部分.于是有

（改編2-3）記函數f（x）圖象上點P（x0，y0）處的切線方程為y＝g（x），若當x≠x0時，（x-x0）（f（x）-g（x））＞0恒成立，則稱y＝g（x）為函數f（x）的“伴隨-S函數”.

試求函數f（x）＝x3-3x+1的“伴隨-S函數”g（x）.

點撥解析

問題1答案：D.

改編1-1解析：由于題目中沒有指出P為切點，因此先設切點T（x0，y0）.因為f′（x）＝3x2+1，因此在T點處的切線方程為.又因為此切線過點P，于是有，化簡整理得，1）＝0，即，或.

代入切線方程得，4x-y-2＝0或7x-4y+1＝0.

改編1-2解析：設切點，因為f′（x）＝3x2+a，因此在T點處的切線方程為.又因為此切線過點P，于是有，化簡整理得，. ①

因為有兩條切線，因此方程①有且僅有兩個不同解，又等價于對應的三次函數的極大值為0，或極小值為0，于是設g（x）＝2x3-3x2+2-a，其導數為g′（x）＝6x2-6x＝6x（x-1），令g′（x）＝0得，x1＝0，x2＝1.討論求得，極大值g（0）＝2-a，極小值g（1）＝1-a.由題意得g（0）＝2-a或g（1）＝1-a，所以a＝1或a＝2.

還可以求：a為何值時，過P點有三條切線？根據上述解題過程知，g（x）有極大值g（0）＝2-a＞0且g（x）有極小值g（1）＝1-a＜0，解之得1＜a＜2.

改編1-3解析：設切點，因為f′（x）＝3x2-3，因此在T點處的切線方程為又因為此切線過點P，于是有，化簡整理得，. ①

因為有3條切線，因此方程①有且僅有3個不同解，又等價于對應的三次函數的極大值大于0，且極小值小于0.于是設g（x）＝2x3-3ax2+3a+b，其導數為g′（x）＝6x2-6ax＝6x（x-a），令g′（x）＝0得，x1＝0，x2＝a（a＞0）.討論得，極大值g（0）＝3a+b，極小值g（a）＝-a3+3a+b.由題意得g（0）＝3a+b＞0且g（a）＝-a3+3a+b＜0，所以 -3a＜b＜f（a）.

本題還可以探究a＜0時，當且僅當f（a）＜b＜-3a時，可以作三條切線.同學們還可以探究函數式中含有兩個參變量，點P為定點，如果能作三條切線，探究參數之間的關系.

問題2答案：（1）（略）；（2）；（3）對任意a＞0，存在b＞0，使函數f（x）與g（x）在區間（0，+∞）內存在“S點”.

改編2-1解析：存在，.

先證，f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個公共點；其次，在點處的公切線；最后證明：當x＞0時，，且恒成立.

略解：易證.令G（x）＝，于是，因此，當時，上單調遞減；當時，G′（x）＞0，G（x）在上單調遞增.

改編2-2解析：設f（x）在點處的切線為lA，g（x）在點處的切線為lB，

f′（x）＝-2x-3，g′（x）＝-2x.因此，.由題意知，lA與lB重合的充要條件為且，消去x2得，.令，則方程等價轉化為t3-3t+a＝0在（0，+∞）內有解.

設h（t）＝t3-3t+a，則h′（t）＝3t2-3＝3（t-1）（t+1）.討論求得h（t）min＝a-2.

要使得存在k，b，必須使方程在（0，+∞）內有解，當且僅當h（t）min＝h（1）＝a-2≤0，即a≤2.

當a≤2時，存在實數k，b滿足題意.

改編2-3解析：設函數f（x）圖象上點P（x0，y0），y0＝x30-3x0+1，f′（x）＝3x2-3，

因此，在點P（x0，y0）處的切線方程為.

因為當x≠x0時，（x-x0）（f（x）-g（x））＞0恒成立，等價于（x-x0）3（x+2x0）＞0恒成立，即等價于（x-x0）（x+2x0）＞0恒成立，即必有x0＝-2x0，因此x0＝0.

所以g（x）＝-3x+1.

回顧悟道

問題一主要是探究在曲線上一點處的切線和過點（點可能在曲線上也可能不在曲線上）作切線，重點討論三次函數的問題，最終還是轉化為函數的零點問題，進一步轉化為極值問題；問題二是新定義函數的公切線問題，處理這類問題也是等價轉化為函數零點，構造函數求極值.改編問題策略，一是改編函數解析式（如變更函數、設置參數），二是變更點與曲線的位置（通過參數調控），三是變更已知條件與結論的位置（可以全部交換，也可以局部交換）.求解策略通常是待定系數法、函數與方程、分類討論數形結合思想方法等等.

小試牛刀

（2018年全國 Ⅲ 卷第14題）曲線y＝（ax+1）ex在點（0，1）處的切線的斜率為-2，則a＝________.

提示1：本題給出切線斜率，求參數的值，如果切線的斜率由兩直線的位置關系確定.

改編1：___________________________.

提示2：若點不在曲線上，過點作切線的情況如何？

改編2：___________________________.

小試牛刀

原題答案：因為y′＝ （ax+a+1）ex，因此f′（0）＝a+1，于是a+1＝-2，即a＝-3.

改編1：曲線y＝（ax+1）ex在點（0，1）處的切線與直線2x-ay+b＝0平行，則a＝________.

改編2：討論過原點作曲線y＝（ax+1）ex切線的條數.

解析：設切點T（x0，y0），f′（x0）＝（ax0+a+1）ex0，于是在點T（x0，y0）處的切線方程為y-（ax0+1）ex0＝（ax0+a+1）ex0（x-x0），

將（0，0）代入得，-（ax0+1）ex0＝（ax0+a+1）ex0（-x0），即ax20+x0-1＝0.

若a＝0時，方程只有一解；