向量大“變身”，玩轉(zhuǎn)圓錐曲線

卞小偉

在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中，常常會碰到向量的“身影”，向量偶爾來“湊湊熱鬧”，給圓錐曲線問題帶來無窮新意和一派生機(jī).由于向量身兼“數(shù)”、“形”兩種身份，因此它可用來簡潔明了地表示多種幾何關(guān)系.通常情況下，向量會“變身”為共線、平行、垂直、線性運(yùn)算、數(shù)量積等形式.

一、向量“變身”為三點(diǎn)共線

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線應(yīng)用中的常見問題，一條直線上三點(diǎn)的位置關(guān)系及線段的長度關(guān)系可用向量來表示.

例1已知點(diǎn)F和直線l分別是橢圓的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線.過點(diǎn)F作斜率為的直線，該直線與l交于點(diǎn)A，與橢圓的一個交點(diǎn)是B，且.則橢圓的離心率e＝_______.

分析條件形式上是向量的共線，且F點(diǎn)為公共點(diǎn)，不僅可轉(zhuǎn)化得到三點(diǎn)A，F(xiàn)，B共線，還可以得到線段AF與線段FB的長度關(guān)系.處理時，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量坐標(biāo)化，代入數(shù)據(jù)即可.

解因?yàn)镕（c，0），設(shè)出直線AB方程，與直線聯(lián)立方程組得：點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)（x，y），結(jié)合，得

二、向量“變身”為平行關(guān)系

圓錐曲線中直線與直線的平行關(guān)系可以用向量的等量關(guān)系表示.

例2設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________.

分析注意到中沒有公共點(diǎn)，F(xiàn)1A與F2B不是共線關(guān)系，而是平行關(guān)系.處理時，仍然轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.

解設(shè)A（x，y），則，可得B點(diǎn)坐標(biāo)

將A，B分別代入橢圓方程，聯(lián)立方程組可得：

解得：A（0，1）或（0，-1）.

三、向量“變身”為垂直關(guān)系

圓錐曲線中直線與直線的垂直關(guān)系也可以用向量表示，若數(shù)量積為零，即說明兩直線垂直.

例3已知雙曲線，P是其右支上任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，Q是PF1上的點(diǎn)，N是F2Q上的一點(diǎn)，且有，，求Q點(diǎn)的軌跡方程.

分析條件，說明了PN⊥F2N且F2N＝NQ，即直線PN是F2Q的垂直平分線.理解向量條件的幾何意義，是解決本題的關(guān)鍵.

解由已知得，

由雙曲線的定義得｜PF1｜-｜PF2｜＝，

所以Q的軌跡是以F1為圓心，半徑為的一段圓弧.

所以Q的軌跡方程為.

四、向量加法運(yùn)算的“變身”

當(dāng)圓錐曲線中向量與向量不共線時，幾個向量之間的關(guān)系可以利用加法運(yùn)算表達(dá)出來.

例4設(shè)雙曲線0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為_______.

分析由于P，A，B三點(diǎn)是共線的，則條件應(yīng)滿足λ+μ＝1.

解直線l方程為x＝c，代入雙曲線方程可得雙曲線兩漸近線方程為，與直線l方程聯(lián)立可得，所以，由P，A，B三點(diǎn)共線得λ+μ＝1，又，解得（P在第一象限）.

五、向量數(shù)量積的“變身”

向量的數(shù)量積在圓錐曲線中的應(yīng)用特別廣泛，數(shù)量積既可以作為條件，也可以作為結(jié)論；題型上可以有求數(shù)量積的值、求數(shù)量積的范圍、求定點(diǎn)、求定值、求軌跡等.

例5已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，求的最小值.

分析設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而運(yùn)用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算.

解設(shè)，所以，.

因?yàn)閤≥1，所以x＝1時，取得最小值.

由此可見，向量在圓錐曲線中的體現(xiàn)形式千變?nèi)f化，但通常解決的方法基本一致，即先將向量的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，或幾何圖形的位置、大小關(guān)系，然后再通過聯(lián)立方程組等代數(shù)方法或借助平面幾何的知識、方法解決問題.