直線與圓錐曲線交點問題錯解分析

單建軍 錢 慧

同學們在做直線與圓錐曲線交點相關題目的過程中，經常會犯一些錯誤，現舉兩例加以說明.

例1已知曲線與直線y＝-x+m只有一個公共點，則m的取值范圍是________.

錯解曲線可化為，與y＝-x+m聯立成方程組消去y得5x2-8mx+4m2-4＝0，由Δ＝0得.

錯因剖析方程與方程并不等價，實際上變形過程中擴大了y的范圍，從而引起錯誤.

正解曲線可化為，表示上半個橢圓，與y＝-x+m聯立成方程組消去y得5x2-8mx+4m2-4＝0，由Δ＝0得.再借助于數形結合易知-2≤m＜2或.

例2過點A（0，1）且與拋物線y2＝4x有且只有一個公共點的直線方程為_______.

錯解設直線方程為y＝kx+1，與方程y2＝4x聯立方程組消去y可得（kx+1）2＝4x，即k2x2+（2k-4）x+1＝0.

（1）當k＝0時，方程組有一解，此時直線方程為y＝1；

（2）當k≠0時，由Δ＝（2k-4）2-4k2＝0得k＝1，此時直線方程為y＝x+1.

綜上，y＝1或y＝x+1.

錯因剖析在設直線方程時沒有討論斜率不存在的情形，即要注意到y＝kx+1并不能表示所有過點A（0，1）的直線，從而引起漏解.

正解（1）當斜率k不存在時，直線方程為x＝0，滿足題意.

（2）同錯解.

綜上直線方程為x＝0或y＝1或y＝x+1.

在處理直線和圓錐曲線問題的過程中，變形的等價性、直線方程的斜率不存在情形的討論以及聯立方程組判別式使用的條件等都是易錯之處，尤其值得同學們引起重視.