神奇的數(shù)
——從冰雹猜想到親和數(shù)

劉燕楠

數(shù)學(xué)如此神奇，往往源于數(shù)的神奇.

天文學(xué)上有黑洞，數(shù)有黑洞，你相信嗎？

1976年的一天，《華盛頓郵報(bào)》于頭版頭條報(bào)道了一條數(shù)學(xué)新聞.文中記敘了這樣一個(gè)故事：20世紀(jì)70年代中期，美國(guó)各所名牌大學(xué)校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學(xué)游戲.什么樣的游戲會(huì)有如此大的力量和吸引力呢？說(shuō)出來(lái)其實(shí)是很簡(jiǎn)單的：任意寫(xiě)出一個(gè)自然數(shù)n，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3n+1；如果是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成.在兩條極其簡(jiǎn)單的規(guī)則引導(dǎo)下，可以將任何一個(gè)自然數(shù)進(jìn)行變換，你是否可以想象：幾乎所有的自然數(shù)都將會(huì)陷入一個(gè)死循環(huán)！

更為神奇的是，不單單是學(xué)生，連教師、教授與學(xué)者都紛紛加入.為什么這種游戲的魅力經(jīng)久不衰？它甚至把古典的“哥德巴赫猜想”打入了“冷宮”.人們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論n是怎樣一個(gè)數(shù)，最終都無(wú)法逃脫回到谷底1，準(zhǔn)確地說(shuō)，是無(wú)法逃出落入底部的421循環(huán)，永遠(yuǎn)也逃不出這樣的宿命.真是令人不可思議，不論你從什么樣的自然數(shù)開(kāi)始，也許中間要經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的歷程，變出來(lái)的數(shù)忽大忽小，很有點(diǎn)像冰雹穿過(guò)暴風(fēng)雨云層時(shí)的軌道，忽而由氣流推著上升，忽而又由于自身的質(zhì)量而下降，所以在美國(guó)這個(gè)猜想被稱(chēng)為“冰雹猜想”，但最終會(huì)跌進(jìn)上述死循環(huán)，結(jié)果多么令人難以置信.現(xiàn)在人們已經(jīng)試驗(yàn)到很大的自然數(shù)，仍沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反例，但也無(wú)法加以證明，它仍然是一個(gè)猜想.冰雹猜想又稱(chēng)為角谷猜想，因?yàn)槭怯扇毡緦W(xué)者角谷靜夫把它傳到亞洲，人們就順勢(shì)把它叫做“角谷猜想”.

冰雹的最大魅力在于不可預(yù)知性.英國(guó)劍橋大學(xué)教授John Conway找到了一個(gè)自然數(shù)27.雖然27是一個(gè)貌不驚人的自然數(shù)，但是如果按照上述方法進(jìn)行運(yùn)算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經(jīng)過(guò)77步的變換到達(dá)頂峰值9 232，然后又經(jīng)過(guò)32步到達(dá)谷底值1.全部的變換過(guò)程（稱(chēng)作“雹程”）需要111步，其頂峰值9 232，達(dá)到了原數(shù)27的342倍，如果以瀑布般的直線下落（2n）來(lái)比較，則具有同樣雹程的數(shù)n要達(dá)到2的111次方.在1到100的范圍內(nèi)，像27這樣的劇烈波動(dòng)是沒(méi)有的（54等27的2的次方倍數(shù)的數(shù)除外）.

經(jīng)過(guò)游戲的驗(yàn)證規(guī)律，人們發(fā)現(xiàn)僅僅在兼具4k和3m+1（k，m為自然數(shù)）處的數(shù)字才能產(chǎn)生冰雹猜想中“樹(shù)”的分叉.所以在冰雹樹(shù)中，16處是第一處分叉，然后是64……以后每隔一節(jié)，產(chǎn)生出一支新的支流.

自從Conway發(fā)現(xiàn)了神奇的27之后，有專(zhuān)家指出，27這個(gè)數(shù)字必定只能由54變來(lái)，54又必然從108變來(lái)，所以，27之上，肯定可以出現(xiàn)不亞于2n的強(qiáng)大支流——33×2n（n＝1，2，3，…），然而，27到421數(shù)列比本流227到421數(shù)列要遙遠(yuǎn)得多.按照機(jī)械唯物論的觀點(diǎn)，從27開(kāi)始逆流而上的數(shù)列群才叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點(diǎn)，一般依然把1248…2n的這一支看作是“干流”.

圖論專(zhuān)家據(jù)此闡述了一種獨(dú)特的方法：把數(shù)列群比作是一棵樹(shù)，421數(shù)列是連理枝，至于上面的分支構(gòu)成了一個(gè)奇妙的數(shù)列通路，包含了所有的自然數(shù).但是非常可惜的是，這個(gè)理論至今也沒(méi)有人可以證明.所以“冰雹猜想”還是數(shù)學(xué)皇冠上一顆尚未鑒別的寶珠.

讓我們從數(shù)字黑洞中爬出來(lái)，談一點(diǎn)輕松的話題：親和數(shù).

人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類(lèi)似的關(guān)系，數(shù)學(xué)家把一對(duì)存在特殊關(guān)系的數(shù)稱(chēng)為“親和數(shù)”.這還得從大名鼎鼎的畢達(dá)哥拉斯談起，他是世界古代十大名人之一.一些歷史傳說(shuō)里，把他描繪得像一尊神，說(shuō)河水遇見(jiàn)了他，也會(huì)卷起浪花來(lái)問(wèn)候：“您好啊，畢達(dá)哥拉斯！”

有一次，畢達(dá)哥拉斯對(duì)人說(shuō)：“朋友是你靈魂的倩影，像220和284一樣親密.”

原來(lái)，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)220與284有一種非常奇妙的關(guān)系.220一共有12個(gè)不同的因數(shù)：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，220.如果不算220它自身這個(gè)因數(shù)，那么，220所有因數(shù)的和正好是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110＝284.而284呢，一共有6個(gè)不同的因數(shù)：1，2，4，71，142，284.如果不算284它自身這個(gè)因數(shù)，那么，284所有因數(shù)的和又正好是：1+2+4+71+142＝220.你的因數(shù)之和等于我，我的因數(shù)之和又正好等于你，這對(duì)奇異的數(shù)真像一對(duì)親密無(wú)間的朋友.數(shù)學(xué)上，具有這樣特征的自然數(shù)叫做“親和數(shù)”.畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的220與284，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)的第一對(duì)親和數(shù)，也是最小的一對(duì)親和數(shù).

古時(shí)候，人們常把這兩個(gè)數(shù)分別寫(xiě)在兩個(gè)護(hù)身符上，認(rèn)為佩戴這種護(hù)身符的朋友就能保持良好而持久的友誼.在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)新的親和數(shù).直到1636年，才由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)了另一對(duì)親和數(shù)：17 296和18 416.兩年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒也發(fā)現(xiàn)了一對(duì)親和數(shù)：9 363 584和9 437 056.18世紀(jì)中葉，著名數(shù)學(xué)家歐拉系統(tǒng)地研究了親和數(shù).1747年，他列出了一個(gè)有30對(duì)親和數(shù)的表，不久又將表中的親和數(shù)擴(kuò)展到60對(duì)，其中包括2 620與2 924，5 020與5 564等等.

那么，在284到2 620之間有沒(méi)有親和數(shù)呢？這是一個(gè)被人們長(zhǎng)期忽視了的問(wèn)題.1866年，16歲的意大利少年帕加尼發(fā)現(xiàn)，正是在這段數(shù)中間，存在著第二對(duì)較小的親和數(shù)1 184和1 210.

近百年來(lái)，不斷有新的親和數(shù)被發(fā)現(xiàn).

親和數(shù)到底是有限對(duì)還是無(wú)限對(duì)呢？到底有沒(méi)有奇偶對(duì)呢？有沒(méi)有尋找親和數(shù)的一般公式呢？這些問(wèn)題到現(xiàn)在依然是謎，等待著我們?nèi)パ芯亢吞剿?