以史為鏡，可知興替

王曉樺

摘 要：我們以往的概念教學(xué)，經(jīng)常抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，對(duì)概念所反映的思想方法的理解水平不高，有些老師不知如何教概念，概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式，沒(méi)有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)以解題教學(xué)代替概念教學(xué)。利用數(shù)學(xué)史內(nèi)容，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)彌補(bǔ)了這方面的不足。本文旨在探索數(shù)學(xué)史在概念教學(xué)的切入時(shí)機(jī)，應(yīng)用層面，使學(xué)生能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué) 數(shù)學(xué)史

一、問(wèn)題提出

筆者在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常可以聽(tīng)到有學(xué)生在感嘆，以前學(xué)的數(shù)學(xué)概念都忘了，好像和沒(méi)學(xué)過(guò)一樣；也經(jīng)常聽(tīng)到同組數(shù)學(xué)老師的抱怨，我某個(gè)概念都復(fù)習(xí)過(guò)好幾遍，學(xué)生怎么老是記不住呢？

回想起自己畢業(yè)前夕在做實(shí)習(xí)老師的經(jīng)過(guò)。那年我們是在高一實(shí)習(xí)，挺不巧帶我的老師也才是當(dāng)年剛剛走上教師崗位，她還是我的學(xué)姐，她就和我講，她師傅告訴她上課的模式：他們的學(xué)生素質(zhì)不錯(cuò)，概念上課前都預(yù)習(xí)過(guò)了，所以正式上課時(shí)只要半節(jié)課把概念定義分析下，講個(gè)把例題，剩下的半節(jié)課進(jìn)行相應(yīng)的鞏固練習(xí)就可以了。

從中可見(jiàn)，我們以往的概念教學(xué)，抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，對(duì)概念所反映的思想方法的理解水平不高，有些老師不知如何教概念，概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式，沒(méi)有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)以解題教學(xué)代替概念教學(xué)，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠，在學(xué)生稀里糊涂時(shí)，就進(jìn)行大量解題操練。數(shù)學(xué)不但沒(méi)有起到明智的作用，而且還讓學(xué)生沒(méi)有了學(xué)習(xí)興趣。

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠了解數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題。所以我們應(yīng)該將數(shù)學(xué)史引入到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中去。

二、利用數(shù)學(xué)史了解概念的產(chǎn)生

通過(guò)利用數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生背景的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生也經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過(guò)程，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步。

案例1

對(duì)數(shù)對(duì)于高一的學(xué)生而言是一個(gè)全新的內(nèi)容的，如果僅僅按照課本的教學(xué)方式，學(xué)生生搬硬套公式，對(duì)于對(duì)數(shù)的概念不能真正理解，不明白為什么要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的概念。我結(jié)合數(shù)學(xué)史，講解對(duì)數(shù)的產(chǎn)生在歷史上是為了解決天文學(xué)中的大量計(jì)算而產(chǎn)生的，對(duì)數(shù)的發(fā)明者叫納皮爾，是一個(gè)十六世紀(jì)的蘇格蘭人。在納皮爾所處的年代，天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門(mén)學(xué)科。因?yàn)槿狈τ?jì)算工具，不少天文學(xué)家花了畢生的時(shí)間去計(jì)算那些煩人的“天文數(shù)字”。納皮爾也非常熱愛(ài)天文學(xué)，也為這個(gè)問(wèn)題而煩惱，他最后通過(guò)大量的研究，想出了“化乘除為加減”從而減少了計(jì)算量，他把這個(gè)方法稱(chēng)為“對(duì)數(shù)”。特別還可以和學(xué)生介紹為什么叫“對(duì)數(shù)”，對(duì)數(shù)就是對(duì)著表查的數(shù)，為了計(jì)算的方便，制作了常用對(duì)數(shù)表以及自然對(duì)數(shù)表，大大減少了當(dāng)時(shí)天文學(xué)家的計(jì)算量。這樣的課堂教學(xué)使學(xué)生了解對(duì)數(shù)的背景，加深了對(duì)對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解，學(xué)生理解了對(duì)數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)是指數(shù)的性質(zhì)，從而降低了對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解難度。

三、利用數(shù)學(xué)史體驗(yàn)概念的發(fā)展

很多數(shù)學(xué)概念都是經(jīng)過(guò)許多代數(shù)學(xué)家研究探索、歸納總結(jié)而形成的，因此具有很強(qiáng)的抽象性，這給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念帶來(lái)了很大的困難，如果我們?cè)诮虒W(xué)中能利用好數(shù)學(xué)史，設(shè)計(jì)好教學(xué)環(huán)節(jié)，讓我們的學(xué)生能親生體會(huì)概念的發(fā)展以及概念的形成過(guò)程，那么學(xué)生對(duì)于那些抽象的概念也就易于理解了。

案例2

在多年的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念是學(xué)生感到最難學(xué)的數(shù)學(xué)概念之一。函數(shù)概念非常抽象，雖然學(xué)生初中學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，但高中的函數(shù)概念又有提升、更加抽象、形式化，更不易于學(xué)生理解。而通過(guò)閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)史書(shū)籍也發(fā)現(xiàn)，函數(shù)概念大致經(jīng)歷了六次擴(kuò)張的過(guò)程，經(jīng)歷了變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)、關(guān)系說(shuō)，隨著集合概念的被人理解，最后形成了用集合語(yǔ)言表示的函數(shù)概念。

在實(shí)踐中，我把教學(xué)設(shè)計(jì)為：（1）介紹函數(shù)產(chǎn)生的大致過(guò)程。（2）通過(guò)讓學(xué)生自己舉出初中學(xué)過(guò)函數(shù)的實(shí)際例子，讓學(xué)生復(fù)習(xí)體會(huì)函數(shù)概念的變量說(shuō)。（3）老師給出三個(gè)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)概念的對(duì)應(yīng)說(shuō)，以及函數(shù)概念的三種表示方法，除了學(xué)生最常用的解析式定義法，還有圖像定義法和表格定義法，從而來(lái)加深對(duì)函數(shù)概念的理解。（4）老師舉出一個(gè)特殊函數(shù)，狄利克雷函數(shù)，引起學(xué)生的矛盾沖突，以前學(xué)的函數(shù)概念都不能來(lái)理解此函數(shù)，引出函數(shù)的集合關(guān)系說(shuō)。

利用歷史上，函數(shù)概念發(fā)展的過(guò)程來(lái)設(shè)計(jì)這節(jié)課，從初中學(xué)過(guò)的函數(shù)概念入手，再引起認(rèn)知矛盾，學(xué)生也容易理解為什么高中要給出函數(shù)概念新的定義。

四、利用數(shù)學(xué)史講解概念符號(hào)表示的來(lái)源

數(shù)學(xué)的美麗的展現(xiàn)在她是高度概括的，非常簡(jiǎn)潔的。我在課堂上經(jīng)常和學(xué)生說(shuō)數(shù)學(xué)家在某些方面是非常“偷懶”的，要用很多文字表示的意思，數(shù)學(xué)中只要個(gè)符號(hào)即可。這些概念符號(hào)的發(fā)展過(guò)程可以講解給學(xué)生，不僅能提高學(xué)生的文化素養(yǎng)，而更能使學(xué)生加深概念符號(hào)的記憶。

案例3

學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，可以和學(xué)生講解函數(shù)的英文是“function”，取單詞的首字母，所以函數(shù)習(xí)慣用f表示；又在學(xué)習(xí)“任意”符號(hào)時(shí)，可以和學(xué)生講解“ ”符號(hào)來(lái)源于“any”這個(gè)英語(yǔ)單詞。學(xué)生可能會(huì)問(wèn)，它為什么不取首字母，老師就可以和學(xué)生講解是由于“a”的小寫(xiě)和大寫(xiě)比較常用，因此就想了個(gè)辦法，把“any”的首字母大寫(xiě)后再顛倒。學(xué)生都是愛(ài)聽(tīng)故事的，因此這樣的課堂更能吸引學(xué)生的注意力，提升課堂效果，牢記符號(hào)。

五、利用數(shù)學(xué)史介紹概念中的數(shù)學(xué)思想

課堂中概念教學(xué)的目的，不僅僅是為了學(xué)數(shù)學(xué)概念而學(xué)數(shù)學(xué)概念的，更重要的是讓學(xué)生

掌握概念中所包含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法，讓學(xué)生獲得終身學(xué)習(xí)能力。就像本文開(kāi)頭提到的有些老師上課就是單純講授概念，然后大量操練典型例題的方法，是為了考試而學(xué)習(xí)，并不能很好培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。數(shù)學(xué)概念的了解、理解、掌握，關(guān)鍵還是要依靠學(xué)生領(lǐng)悟，因此教師課堂上可以利用數(shù)學(xué)史由表及里，引領(lǐng)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)概念中所蘊(yùn)含的思想方法。

案例4

例如學(xué)生在弧度制的學(xué)習(xí)中，由于在初中時(shí)已經(jīng)習(xí)慣了角度制的表示，在學(xué)習(xí)中始終習(xí)慣用角度制來(lái)表示問(wèn)題、解決問(wèn)題。初中時(shí)角度制已經(jīng)先入為主，弧度制對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)全新的概念，那么我們?cè)撊绻脒@個(gè)新的弧度制概念。我們可以在課堂教學(xué)中向?qū)W生介紹利用弧度制產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程，再借助學(xué)生已有三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)引入弧度制的概念教學(xué)。學(xué)生初中所學(xué)的三角函數(shù)是用邊的比例進(jìn)行定義的角的函數(shù)，這是由歐拉第一個(gè)提出的。最后也是由歐拉提出了弧度制，弧度制也是用比例來(lái)定義角的函數(shù)。

通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)可以使學(xué)生體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)學(xué)生理性思維思想。

結(jié)語(yǔ)

總之，利用數(shù)學(xué)史開(kāi)展我們數(shù)學(xué)課堂概念教學(xué)中，不僅活躍了課堂，更加可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。同時(shí)通過(guò)這樣的課堂教學(xué)，教師有動(dòng)力去加強(qiáng)學(xué)習(xí)，從而也提高了自身的整體素養(yǎng)。但同時(shí)如何更好的將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的概念教學(xué)中去這個(gè)難題也擺在我們一線(xiàn)教師的面前，還需要更多的教育工作者投入更多的精力去研究。

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