解析反證法的邏輯特點和使用技巧

李雨眠

摘要：我們在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，反證法是作為一種特殊的解題技巧來使用的，通過對反證法的學(xué)習(xí)和研究，了解了反證法的使用方法以及使用的情形，并引發(fā)了本人對反證法的思考和總結(jié)。本文簡單的介紹了反證法的概念，邏輯特點，重點分析了反證法的使用技巧。

關(guān)鍵詞：反證法；邏輯特點；技巧；數(shù)學(xué)

一、反證法的概述

反證法，又稱背理法，即假設(shè)原命題結(jié)論的不成立，然后從這個假設(shè)開始，根據(jù)題中給出的條件，進行論證，最后推出與原命題相悖的結(jié)果。反證法最重要的部分在于歸謬，根據(jù)假設(shè)的情況的多少，反證法可以分為兩類，即歸謬反證法和窮舉反證法，歸謬反證法是結(jié)論的反面只存在一種情況，而窮舉反證法是結(jié)論的反面不單單只有一種情況。

二、反證法的邏輯特點

間接證明是反證法的邏輯特點，它從命題結(jié)論的反面對命題進行論證，通常第一步是假設(shè)原命題的不成立，第二步是從結(jié)論出發(fā)，推理論證，得出矛盾，最后得出假設(shè)不成立，肯定原命題正確的結(jié)論，是一種逆向思維的證明方式，間接證明是相對直接證明來說的，當(dāng)我們遇到某一道數(shù)學(xué)題時，若我們很難用直接證明，從已知推出結(jié)論，那么，假設(shè)結(jié)論，由結(jié)論推出，也未嘗不是一種好的方法，這樣數(shù)學(xué)問題就會變得簡單、明了。在解數(shù)學(xué)題的過程中，常使用反證法證明，不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，鞏固學(xué)生的所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思辨能力，對學(xué)生的長遠發(fā)展有著重要的影響。

三、反證法的使用技巧

1、證明結(jié)論反面比結(jié)論更為簡單。正如一句古話說的好，正難則反，當(dāng)一個事情的正面很難得到證明時，那么從事情的反面進行證明會更容易一些，而在數(shù)學(xué)中，反證法一般用于條件不是特別多，關(guān)系不是特別容易把握時，從反面證明比較容易上手的情況。

例如，在平面和直線相交的證明題中，求證：若兩條平行直線a，b中的一條與平面m相交，則另一條也與平面m相交。

證明：不妨假設(shè)直線a與平面m相交，b與a平行，從而證明b也與平面m相交，假設(shè)b不與平面m相交，則必有兩種情況：

（1）b在平面m內(nèi)，因為a//b，a不在平面m，所以a//平面m，與題設(shè)矛盾。

（2）b//平面m，則平面m內(nèi)有直線b1，使b//b1.因為a//b，所以a//b1，因為a不存在平面m，這與題設(shè)矛盾。所以，b與平面m只能相交。

在這道題中，直接證明直線與平面相交是比較困難的，然而運用反證法，通過假設(shè)，對命題的證明就比較容易。

2、證明結(jié)論中出現(xiàn)“至少、至多、唯一、不能同時等字樣的命題。當(dāng)一個命題中出現(xiàn)至少、至多、唯一、不能同時的字樣時，直接證明會比反證法困難。當(dāng)題目中出現(xiàn)“不能同時”的情況時，采用直接證明會出現(xiàn)一個、兩個、三個等不同的情況，而采用反證法，否定結(jié)論，就是“同時存在多種相同情況“，這樣證明起來就方便很多了。因此，在做題中要特別注意命題中出現(xiàn)至多……，不都……、都不……、沒有……，不能同時……等關(guān)鍵性詞語。

例如，若0

證明：因為00

同理，4-b>0，4-c>0

假設(shè)（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，同時大于2

即（4-a）b>2，（4-b）c>2，（4-c）a>2

由①+②+③得，6>6，矛盾

所以假設(shè)不成立，所以（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，不能同時大于2。

四、反證法應(yīng)當(dāng)注意的問題

在運用反證法的過程中，我們應(yīng)當(dāng)注意一些問題，主要是以下幾點：

1、我們要正確的分清題中的條件和結(jié)論，并正確的否定命題中的結(jié)論，正確的否定結(jié)論是證明結(jié)論成功的第一步，因為只有在確定大前提正確的前提下，才能確保接下來推理的正確。

2、在推理的過程中，要運用題中的條件，形成清晰的邏輯推理過程，并保證正確無誤，正確的推理過程是一道題中最重要的部分，它包含了做題者的思想和邏輯推理能力，是做題者思維和意識的的表達。

3、得出正確的結(jié)論。在反證法的推理過程中，不同的題型會有不同的結(jié)論，我們要做好的就是分清不同的矛盾種類，進而得出不同的結(jié)論。這樣，一道數(shù)學(xué)題才能算是完整的解答出來，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們需要的是百倍的耐心和細心，因為，數(shù)學(xué)本身是一門非常嚴(yán)謹?shù)膶W(xué)科，它容不得絲毫的馬虎，正如，用反證法證明習(xí)題時，習(xí)題的每一步都需要仔仔細細的進行計算，每一個小數(shù)點或者符號，都要標(biāo)在它應(yīng)該存在的位置上，只有這樣才能保證最后得出的結(jié)論的正確。也只有這樣我們才能在數(shù)學(xué)上取得成就。

五、結(jié)語

反證法在數(shù)學(xué)證明題中是非常常見的一種證明手法，然而它的運用不單單只局限于數(shù)學(xué)中，在生活中，我們也可以看到它的影子，當(dāng)我們路過一家餐廳判斷餐廳的食物的好壞，可以從餐廳的生意來判斷，假設(shè)餐廳的食物很難吃，那么一定沒有顧客，而餐廳卻是人滿為患，于是矛盾，所以假設(shè)不成立，所以餐廳的飯好吃。筆者作為高中生，通過對高中反證法的學(xué)習(xí)和了解，進而思考了反證法在其他科目中的運用，并做了深入的研究和分析。反證法對于數(shù)學(xué)中的問題的解決是至關(guān)重要的，學(xué)好反證法，可以化繁為簡，很好的解決一些復(fù)雜的難題。作為高中生來說，熟悉的掌握反證法，在一些數(shù)學(xué)的證明過程能夠比較得心應(yīng)手的運用它，這樣我們在遇到問題時，就能夠靈活的準(zhǔn)確的解決難題，提高我們的學(xué)習(xí)能力。然而，反證法的學(xué)習(xí)是不易的，因此，在學(xué)習(xí)反證法的過程中，要好好學(xué)習(xí)，勤于思考，只有這樣，我們才能理解它，掌握它，并且正確的運用它。

參考文獻

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