小議巧用“數形結合”解決問題

范金進

關鍵詞：巧用；數形結合；解決問題

“數”和“形”是數學中最基本的兩個概念。數學家華羅庚先生說過“數無形時不直觀，形無數時難入微”，這就是數形結合的思想。數形結合思想既是一種重要的數學思想，又是數學學習的一種重要手段，主要包括“以數解形”和“以形促數”兩個方面。解析幾何主要運用方程和代數的方法研究幾何問題，是“以數解形”的經典之作。“以形促數”是數與代數、統計與概率兩大知識領域知識教學的重要策略。“以形促數的”策略的巧妙使用，不僅可以幫助學生直觀理解學過的知識，深化對已學知識的理解，還可以幫助學生有效描述和分析問題，提高分析解決問題的能力。數形結合通過數與形的相互轉化、相輔相成來解決數學問題的一種思想方法。數形結合在教學中的應用就是把研究的數量關系和空間圖形結合起來，根據解決問題需要，可以把數量關系的問題轉化圖形來討論并解決，或者把圖形問題轉化成數量關系來討論并解決，或者把數和形結合起來解決實際問題。由此達到把問題化繁為簡、化難為易、化抽象為直觀、化隱為顯的目的。結合教學實踐，淺談如何應用“數形結合”解決問題。

一、“數形結合”讓繁雜問題化繁為簡

數形結合思想把數學語言與直觀圖形結合起來，揭示數學問題中的數量關系，能夠提高學生的理解能力，促進學生形象思維和邏輯思維結合，最終把問題化復雜為簡單并迅速解決問題。

如：在教學“排隊問題”：小芳前面有6個同學，后面有5個同學，這樣一排共有幾個同學？在完成此題時有40%的同學弄錯了。根據一年級學生的年齡特征和認知規律，我讓學生用自己喜歡的方法，畫圖幫助理解題意，他們有的畫人物，有的畫圖形，有的寫數字，有的畫符號，最后老師點明采用符號化的方法既簡便又容易解決問題。如圖：

通過畫圖，借助圖形學生很快找到解決問題的方法。教師把“數”與“形”有機結合起來，學生把數學信息中蘊含的數量關系直觀化和顯性化，化繁為簡，化難為易。學生真正體會數形結合的價值，感悟數形結合的思想。

二、“數形結合”讓抽象問題化為直觀

數形結合的思想在教學中的應用是把數量關系和空間圖形有機結合起來，可以把數量關系的問題轉化成圖形問題來討論并解決，借助圖形解決最大優勢是將抽象問題形象化、具體化，為學生在實際問題與算式之間、分析數量關系與解決問題之間架一座“橋”。如：五年級數學雞兔同籠問題就是借助圖形找到解決問題的辦法。問題：雞和兔一共10只，腿有32條。求雞和兔各有多少只？用算術法解決雞兔同籠問題，有些學生感覺很難，不易理解，此時借助圖形，幫助學生理解，找到解決問題的方法。先畫10個圓表示10只動物，假設全是雞，給每個圓畫2條腿，共畫了20條腿。還有32-20=12（條）沒有畫上，再剩下的腿添上，每個圓還可以添2條，12條腿可以添12÷2=6（只）。從畫好的圖中可以看出，這6只動物有4條腿是兔。只有2條腿4只是雞。通過畫圖，不僅讓題目中的抽象的數量關系變成直觀，使人一目了然，而且完美詮釋了“假設法”。學生在解決問題的過程中，感悟數形結合思想的在數學學習中的重要性。

再如，兩位數乘兩位數（14×12=？）乘法法則的教學中，教師通過呈現“點子圖”（14行，每行12個圓點），引導學生觀察并用筆圈出計算的全過程（10個14和2個14），這樣通過點子圖，就把抽象的“法則”與直觀的“圖形”有機結合起來，有利于學生理解算理、掌握算法，感悟數形結合思想的價值。

三、“數形結合”讓幾何問題化隱為顯

華東師范大學劉濯源老師提出的“思維可視化”，是指運用一系列圖示技術把本來不可視的思維呈現出來，使其清晰可見的過程。借鑒到數學教學中，我們可用圖形的表征呈現思考，幫助學生更好理解數學。小學生在學習圖形知識時，教材中通常都會給出現成的圖形，學生一般都會根據文字、圖形、算式對照思考。當學生遇到沒有圖形的題目時學生很難找到解決問題的辦法。因為學生對題目中的數學信息理解、分析不全面、不到位。數學信息及其數量關系復雜隱晦，要分析理解就更困難了，這容易造成畏難情緒。一圖勝千言，運用直觀圖形分析數學問題，可使內隱的數量關系外顯，促進學生的理解。因此碰到這類題目時老師要求學生在紙上畫畫，把數學信息及問題在圖中表示出來，把自己在大腦中想象的模型再現在紙上，以此拓展他們的解題思路，提高分析問題、解決問題的能力。如：有一塊正方體木料，棱長是4分米。把這塊木料加工成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方分米？我讓學生獨立思考，可是想了很長時間，學生們都無從下手，不解其意，無法找到解決問題相應的數學信息。接著我在黑板上根據題目的要求把圖出來，讓學生仔細觀察圖，說一說你從圖中發現什么？學生頓時恍然大悟，原來通過畫圖學生找到了隱藏的數學信息，圓錐的底面半徑等于正方體的棱長，圓錐的高等于正方體的棱長，從而找到解決問題的辦法，感受到數形結合思想在學習數學中的重要性。

再如：六年級數學有這樣一道題：一根圓柱形木頭長3米，截成長度相等的4段，表面積增加了2.4平方分米。圓柱形木頭的體積是多少平方分米？我讓學生獨立思考，可是學生思考許久都百思不得其解，找不到解決問題辦法。此時，我引導學生在紙上畫一畫、想一想，截成4段后，表面積為什么會增加？增加了哪些面的面積？學生借助圖形，利用圖形的表征呈現思考。學生通過畫圖、結合圖形進行觀察、分析、思考，運用直觀圖形分析數學問題，可使內隱的數量關系外顯，幫助學生更好理解數學，找到解決問題的辦法。原來截成4斷后，增加6個橫截面積，圓柱木頭的橫截面積是2.4÷6=0.4（平方分米），再用橫截面積乘長即0.4×30=12（立方分米）就等于木頭的體積。學生在解決數學問題中，真正感受到數形結合方法是解決數學問題一種重要的手段，同時感悟數形結合思想的價值。

總之，圖形在數學教學中的價值可見一斑，數形結合的思想的應用能夠在一定的程度上推動教學目標的完成，對于教學效果的提升以及教學方法的不斷改進有著至關重要的意義。因此我們在教學中要注重數形結合思想的培養，在培養數形結合思想的過程中，教師要充分挖掘教材的內容，將數形結合的思想滲透在具體的問題中，數形結合思想的有效應用不僅能夠激發學生學習數學的興趣、提高學習效率，還能夠提高學習數學的能力、提升學生的數學素養。

參考文獻

[1] 張秋華.巧用“數形結合”解決數學問題[J].教育教學論壇，2014，（47）：277-278.

[2] 張立娟.巧用數形結合法解題[J].今日科苑，2007，（12）：206.endprint