基于變易理論的大學數學課堂學習研究

劉生貴

[摘 要]變易理論指出，要正確認識某事物就應該分離出該事物的關鍵屬性。運用變易圖式加以對比，可以有效實現對關鍵屬性的辨析。課堂學習研究以改善教與學為目標，以變易理論作為教學設計的理論指導，來幫助學生掌握學習內容。對于那些學生難以理解的大學數學概念和問題，用課堂學習研究的模式進行教學研究，可以促進教與學的有效開展，有利于教學質量的提高。

[關鍵詞]變易理論；課堂學習研究；大學數學；關鍵屬性

[中圖分類號] G642.42 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2018）11-0104-04

○、引言

大學數學課程是高等院校各理工、財經、管理等專業重要的公共基礎理論課，其目的在于培養專業技術人才所必備的數學素養。作為基礎的工具學科，大學數學的教學一直深受重視并且對其要求在不斷提高。然而目前的大學數學教學普遍存在下列現象：數學是大學課程中最多學生掛科的課程之一，甚至導致有些學生延遲畢業或畢不了業；大一新生普遍感覺高數（或數學分析）特別難學，對很多數學問題和概念似懂非懂，存在較嚴重的學習障礙，嚴重打擊了學生的學習積極性，造成其后繼課程學習困難。筆者認為造成目前這樣的局面大致有以下幾個原因。

一是大學擴招所帶來的學生差異。國家自1999年實行普通高等學校擴招政策后，各高等院校的學生規模都迅速擴大，導致學生素質參差不齊，按總分錄取的方式使得學生單科成績差距懸殊，生源總體差異顯著加大。而大學數學每節課教學信息量大，以及近乎“滿堂灌”的教學模式，使得很多學生一時難以適應。而且大班制的數學教學不能很好地兼顧學生差異，教師難以有效組織教學以及師生之間的交流討論，這對提高教學質量極為不利。

二是高校教研方面仍存在諸多的不足，教研氣氛不濃，影響了教學質量。普通高校雖然也有教研教改項目和教研活動來推動教學，但很多高校重視程度不夠，很多流于形式，只做表面功夫。比如，很多普通高校都把院系或教研室集體聽課評課作為教研的主要方式，但多數停留在就課論課、就課評課，很少能上升到“教學研究”的高度。

另外，國內高校的職稱評定、評優評獎、項目申報等大都以科研項目以及科研論文發表為中心。專注于科研的教師，可以申請到更多的科研經費，發表更多的論文，職稱待遇都能迅速上去，帶來一系列的實惠，這就導致了很多大學教師“九分科研，一分教研”，不愿意花太多的精力在教學研究上，對于普通的非科研型院校也是如此，這就違背了大學“教學為本”的宗旨。

三是對新入職的年輕教師教學技能的培訓和幫扶力度不夠。很多年輕的大學教師雖然有很豐富的專業知識和較深的學術造詣，但普遍比較缺乏教師技能的訓練。特別重要的一點是，年輕人正處于事業的上升期，比較迫切希望職稱上的提升，使得他們更愿意把較多精力花在容易獲取“收獲”的項目和論文上，表現為在教學上只要能應付就行。高校里有很多的科研團隊，但很少像中小學那樣傳幫帶的教學研究團隊，使得年輕教師的教學成長較慢。

教學中，很多教師常會假設，只要教師對學生講解清楚教學內容，學生便會得到跟教師一樣的理解，而事實上的結果常常與假設相差甚遠。大學數學教師常常會抱怨：“我已經把這個問題講得很詳細、很清楚了，為什么很多學生還是不明白。”很多教師常常會把這歸因于學生的天賦能力或學習動機。事實上，很多時候這是因為教師沒有了解學生學習的真正困難所在，沒有關注學生是如何思考、如何學習的，沒有注意到學生的個別差異。變易理論認為，教師通常難以明白學生所面對的困難，是由于忽略了學習內容的某些關鍵屬性，而這些關鍵屬性卻是教師習以為常已被置于背景而不會特別去處理的東西，這些屬于教師教學盲點的關鍵屬性恰恰是造成學生學不好的主要原因。如能找出學生對學習內容不同的看法，再對比教師希望學生能發展出的看法，便不難找到學生欠缺了哪些關鍵屬性的掌握，如此便能有的放矢地對癥下藥了。而基于變易理論的課堂學習研究，聚焦于學習內容的關鍵屬性，利用變易圖式設計教學活動以突出關鍵屬性讓學生辨析，能較充分地照顧學生差異，有效地指導大學數學的教學，創建良好的校園教學研究氛圍，提升教學質量。

一、變易理論與課堂學習研究概述

變易理論（Variation Theory）是世界著名教學專家、瑞典哥德堡大學教授馬飛龍（Ference Marton）所創立的一套教學理論，在全球享有很高的知名度。變易理論的基本觀點是，為了認識某個事物，就必須注意到這個事物與其他事物之間的不同。為了注意這個事物與其他事物在某個屬性上的不同，這個屬性就必須在某個維度上發生變化。在所有其他屬性都保持不變的情況下，這個差異才可以被識別出來。近些年來，變易理論在我國香港和內地得到傳播和研究，一些研究者開始嘗試將變易理論作為設計教學的指導工具，進行教學的改革。以香港教育大學盧敏玲教授為首的一些教育學者對馬飛龍教授的變易理論進行發展，提出了一種新的教學研究模式——課堂學習研究。

課堂學習研究是一種以變易學習理論為指導的校本行動研究。主要由同科同級的教師在學院研究員的協助下組成研究小組，先確定研究的課題，再通過前測和課前訪談找出學生學習該課題的難點，然后針對該難點確定研究課的學習內容和關鍵屬性，根據變易圖式集體設計教學方案，并由不同教師輪流施教，每次教學實踐后立即檢討該研究課的成效并提出改善方案，再在下一輪課堂教學施教，逐步改善教學效果。

課堂學習研究借鑒了日本的授業研究（Lesson Study）和國內的教研實踐模式于2000年在香港發展起來[1]。它的特色突出表現在把一套簡單而且能夠作為教學設計指導原則的學習理論內嵌其中。這套學習理論即為瑞典教育家馬飛龍教授提出的變易理論[2]。變易理論強調建立學生與學習內容之間的聯系，學生對學習內容的理解取決于他們對其關鍵屬性的掌握，而這一過程需要教師通過建立適合學生的變易圖式才得以實現。基于學習內容中的“不同”和“相同”的不同組合，學生可以得到“對照”“類合”“區分”以及“融合”四種變易圖式[3]。

盧敏玲教授從以下三個不同層面的變易對馬飛龍教授的變易理論進行了發展[4]。

第一個層面（V1）是指不同學生對學習內容都有的不同見解。這一層面要求教師在考察學習內容的時候，不但要基于學生原有的知識與經驗，也要基于學生的實際理解水平來思考。馬飛龍教授強調，若教師能洞悉學生對學習的不同見解，從而加以分析，找出不同學生對學習內容的不同見解，然后做出教學上的調適，這樣教學效益便能大大提升。

第二個層面（V2）是指不同的教師對同一教學內容都有不同的見解及處理的方法。這一層面要求教師之間應該進行積極的經驗交流互動，透過觀課和課后仔細分析教與學的細節，集體合作設計出更有效益的課堂教學計劃，形成合作教學共同體，以此來提高教師的專業教學水平，進而促使學生從中獲取更大的益處。

第三個層面（V3）是指利用恰當的變易圖式（讓事物的其他特征不變，有計劃地改變某個或某些特征）作為指導教學設計的工具，幫助學生審辨學習內容的關鍵屬性，規劃有效的教學活動。這個層面要求教師要不斷地打破傳統的教學模式，將重點放于對學習內容的處理之上，這樣的課堂教學才會更加豐富多彩，才能進一步提高課堂教學的效率。

在過去的十幾年里，香港教育大學的研究團隊在盧敏玲教授的帶領下，和 200 多所香港中小學合作完成了280多個課堂學習研究，積累了豐富的經驗，取得了令人矚目的成就。本文認為，課堂學習研究同樣可以有效改進大學數學教學，同時可以搭建一個“合作教學”的社群，形成良好的教研氛圍，讓教師相互學習、共同發展。

二、課堂學習研究對大學數學教學的意義

一是課堂學習研究可以有效提升學生的學業水平和學習能力。課堂學習研究先從分析學生對學習內容的不同看法開始，然后從差異中尋找改善學習的方法。在研究的流程中，選擇學習內容、確定關鍵屬性、設計課堂教學活動等方面都較充分照顧到學生的個別差異，可以整體提升學生的學業水平。

在社會高速發展的今天，各國的教育改革趨勢都是以適應高速發展的社會為宗旨，全面推進終身學習、全人教育。2014年11月，聯合國教科文組織召開“世界可持續發展教育大會”，主題是“今天的學習是為了能擁有一個可持續的未來”。為適應多變未知的未來，就要培養學生更好地處理事情的能力，讓他們掌握要處理的事情的關鍵屬性。而在知識以加速度更新的時代，要擁有可持續發展能力，“會學”顯然要比“學會”更重要，“學力”當然要比“學歷”更重要！北京師范大學陳建翔教授認為，變易理論可以幫助學生辨析事物的關鍵屬性，有效促進學習的“正遷移”，促進學生的“生產性”學習，提升學生的“學力”[5]。在變易理論看來，教師在教學中有意識地進行變易，讓學生聚焦于事情的一項或多項特征上，可以促使他們產生更高明的見解。如果學生在教學情境中學會了如何辨析事物的關鍵屬性，他們就可以更好地在另一些情境學習其他東西，這就是“生產性”學習。

二是課堂學習研究給參與的教師提供一套嚴謹的研究方法，幫助他們對自己的教學實踐進行反思性學習，促進教師的成長。在研究過程中，教師不只是從整體學科知識內找出學生學習的難點，設計適合學生學習的學習內容和處理方法，而且在經歷了一個系統的教學研究過程之后，其教學研究和教改能力會獲得有效提高。特別對于年輕教師來說，經歷了一輪課堂學習研究后，他們增強了對課程的適應能力，通過不斷反思自身的教育行為并進行有效施教，促進了自身的專業發展。

三是課堂學習研究有助于構建教學研究互助共同體。長期以來，很多大學數學教師的教學研究被認為缺乏互動、對話、反思的機制。而在課堂學習研究過程中，研究小組的教師一起對研究課進行設計、實施、評價和分享，一起學習和研究，有共同的目標與價值，彼此互動，交流頻繁，共同的教學實踐滿足了年輕教師集思廣益的需要，建立了教師教學研究發展的專業共同體。因此，課堂學習研究不僅有助于改善教學，還可以構建教學實踐共同體，提升教師的專業發展[6]。

三、基于變易理論的大學數學課堂學習研究流程

課堂學習研究是建立在“教師即研究者”理念之上的一套改善教學的行動研究模式。將行動研究貫穿于課堂學習研究的始終，在計劃—行動—觀察—反思—新計劃—再行動—再觀察—再反思中獲得螺旋上升和不斷發展。所謂行動研究，即“教師對日常課堂教學或學校里所發生的事情進行思考，并做出系統的評估，然后采取具體行動，改進或改變現行情況或行為，繼而監管及評鑒行動的成果，以求達到更好的效果”[7-8]。

一般來說，大學數學課堂學習研究可以依據如下步驟，但這些步驟不一定以固定的順序出現，有時幾個步驟的工作會同時進行，有時某幾個步驟會反復進行循環，其基本的流程如圖1所示。

第一步，選取課題，初擬學習內容。馬飛龍教授認為，學習內容是課堂教學的核心和基礎，學習方式和教學形式應適應學習內容的需要。研究小組成員在討論會議上，分享各自在同一科目教學實踐中所遇到的教學難題及其解決方法，然后選取一個最有研究價值又可行的研究課題。

該概念是數學的基礎概念，后續的很多數學問題都是建立在函數極限的基礎上，比如函數連續、可導、可可積、收斂等，但初學者對函數極限的[ε-δ]定義卻很難理解。筆者曾對所在的大學不同年級的理工科學生做過幾次訪問調查，結果發現將近百分之九十的學生對這個概念似懂非懂，這就嚴重打擊了學生學習的信心和興趣，影響了其后繼數學課程的學習。而這個概念是那么基礎和普遍，使得有些學生剛上大一就開始對數學產生恐懼心理了。據此，我們可以以這個概念作為研究的一個課題。

第二步 ，“診斷學習困難”并“確認學習內容的關鍵屬性”。教師首先必須清楚學生應審辨教學內容的哪些關鍵屬性。其次，在眾多特征中，教師要分辨出哪些特征是導致學生在學習過程中出現困難的關鍵。只有明確學習內容的關鍵屬性，才能弄清楚學習某項內容的必要條件，才能為教學過程和方法提供有效的依據。而且，教學中最需要突出的是學生很難理解的那些關鍵屬性，學生理解偏差之處常常暗含于某個關鍵屬性的誤解或盲區[9]。為了確保研究資料的效度和信度，研究小組可以邀請幾位已學過該課程的大二學生（他們的學科成績分別是高、中、低）接受訪談，以了解學生的想法。與此同時，設計一個前測問卷調查，對所有參與研究課的學生進行前測，借以診斷該群學生的學習難點。

例如，在函數極限的[ε-δ]定義中，根據教師以往的教學經驗，學生難以理解[ε、δ]是什么樣的數以及有什么作用，我們可以結合學生訪談和前測情況來確定以此作為關鍵屬性。

第三步，根據訪談和前測反饋的情況進行教學設計及教學實踐。針對學生難于理解或理解有誤差的關鍵屬性，運用變易理論創設出恰當的變易圖式，以此作為指導教學設計的工具。再以適當的教學策略帶出相關的教學活動，以期達到教學目標。

在進行教學實踐時，每一輪研究課會由其中一位教師施教，研究小組的其他成員則進行觀課。研究課后，再邀請幾位不同層次的學生進行課后訪談，借以了解學生對有關內容的掌握程度。同時，結合現場觀課的情況，對該輪教學進行深入的分析與研討，以期下一輪的教學設計會更加完善。以行動研究的模式，然后進行下一輪教學設計、教學實踐、課后訪談和教學分析，如此循環兩三輪。

第四步，檢討整體教學成效。研究小組在研究課后盡快對學生進行后測。對比前測和后測的結果，旨在了解學生的學習成效，并借此找到仍然未被發現的學習難點，以此作為將來改善教學的依據。

第五步，分享成果，撰寫研究報告。研究小組根據多方面收集的資料，將行動研究的成果制作成簡報，向全體研究人員匯報，并作深入的討論，以促進教師學會從實踐中學習和成長。

四、結語

課堂學習研究以改善教與學為目標，以變易理論作為教學設計的理論指導，來幫助學生掌握學習內容，可以有效改善我們的教學，照顧學生的個體差異，提升校園的教學研究文化，促進教師教學能力的成長和成熟。而且這種教學研究模式簡單易行，便于普通大學數學教師掌握和推廣應用，根據香港在這方面的成功經驗，我們認為很值得在大學數學教學中學習和推廣。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 李樹英，高寶玉.課堂學習研究的國際展望[J].全球教育展望，2007，38（1）：52-56.

[2] 郭永賢.課堂學習研究概論[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[3] 盧敏玲.變易理論和優化課堂教學[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[4] 梁玉麟，勞傅燕華，江巧妍.數學課堂學習研究實踐與數學基本概念的教學[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[5] 陳建翔.“變異理論”對傳統遷移觀的超越及啟發[J].中國教育學刊，2009（1）：30-33.

[6] 鄭志強.課堂學習研究與教師專業發展[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[7] ELLIOTT J.Action research for educational change[J].Philadelphia：Open University Press，1991（5）：579-580.

[8] 李樹英，高寶玉.課堂學習研究實踐手冊[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[9] 陳紅兵.探索學習的必要條件：變異理論發展的新動態[J].課程·教材·教法，2014（6）：110-115.

[責任編輯：龐丹丹]