淺析數學歸納法的思想原理及應用

李佳霖

摘要：介紹了什么是數學歸納法，并通過與經驗歸納法對比，論證其科學性，探討數學歸納法的思想原理。以例題探討數學歸納法在解決問題時的應用。

關鍵詞：數學歸納法 思想原理 應用

引例：在多米諾骨牌，①只要第一塊骨牌倒下；②前一塊倒下能保證后面一塊骨牌倒下。那么整個多米諾骨牌都會倒下。數學歸納法，正是運用了相似的思想。

一、數學歸納法的規范表述

a）對于任意正整數r，如果命題Ar為真，則可推出命題Ar+1為真；

b）第一個命題A1為真。

二、數學歸納法與經驗歸納法

其實，在遇到引言中內角和的命題時，可以輕易驗證前幾個是成立的。可以繼續驗證，n不斷增大，而命題依然成立。但這并不是一般的規律。我們并不能這樣輕易認定命題是否成立，這屬于經驗歸納法。這并不嚴謹，因為我們不能用有限個命題的正確性直接代替無限個命題的正確性。數學歸納法則有嚴密的邏輯推理過程。雖然我們不用對每一個命題進行驗證證明，但在我們得以證明a）、b）步驟時，通過邏輯推理就能給出所有項都成立的結論了。

三、數學歸納法的思想原理

在面對類似于引言中的與自然數n相關的一系列命題時，一般有兩種思路，一種是找出這一系列命題其中的共同規律，一次性證明這所有命題。第二個思路就是數學歸納法，把無限個命題分開，找到其中的遞推關系，用已知命題的正確性證明后續命題，無限循環，進而證明這一系列命題。我們可以注意到，遞推關系并不是只有 “Ar為真推證Ar+1為真”這一種，“Ar和Ar+1為真推證Ar+2為真”、“Ar為真推證Ar+2為真”也都是有可能的。這樣，我們的思路就可以更開闊一些了。

四、數學歸納法在數列中的應用

在解決數列問題時，常常遇到知道通項公式是什么卻無法證明的情況。這里不妨用歸納法解決。具體的解法是：①驗證前兩項符合條件；也就像是引言中提到的，多米諾骨牌的第一塊倒下了②通過遞推公式說明若an滿足猜想，則an+1也滿足猜想；也就是前一塊多米諾骨牌倒了，后面一塊也一定會倒。下面有一道例題。例1（廣州高考題）設數列{an}的前n項和滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15。求：數列{an}的通項公式。

從上面的例子可以看出，對于求數列通項公式，如果能猜出通項公式，并且題目告知或者能間接推出遞推公式，用歸納法解題最為簡單。

應用（2）證明不等式或等式

近年來證明不等式一直是高考的熱點和難點，不僅僅靈活多變，在平時解題中，往往難以找到突破口。此時運用歸納法從特殊到一般的思想，往往能一招見奇效。需要注意的是，歸納法往往與其他方法混合使用，當題目較為復雜時，常常要先用分析法順著題目條件找到證明解決問題比較簡單的數學形式，化簡條件或者問題中的式子，找到關鍵的共同點，再運用“要證明……”，“只需證明……”最后將問題證明。

五、結語

數學歸納法一直是高考考場中的利器，在運用時要注意先特殊，后一般的使用順序。從特殊轉化到一般的關鍵是找出前后兩項的遞推關系。此外，將數學歸納法與多米諾骨牌對比，能夠加深對其的理解，使解題更加流暢自如。

參考文獻：

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[2]蔡小雄.高中數學聯賽一試 數列與數學歸納法[M].西冷印社出版社，2006.

[3]余希翔.數學歸納法的原理分析[J].大科技，2017，（03）.

[4]王治平.例談數學歸納法的應用[J].高中數學教與學，2017，（01）.

（作者單位：牡丹江一中）endprint